Transferencia de potencia en RF
N. Tempone A. Henze H. Silva
G. Monasterios
Lab. Metrolog´ıa RF & Microondas, INTI
http://www.inti.gov.ar/electronicaeinformatica/metrologiarf ntempone@inti.gov.ar
Mayo 2012
´Indice
1. Formulaci´on cl´asica de RF 2. Formulaci´on con mu´ltiples reflexiones 3. Definici´on de Pd, PZ0 y Pav 4. Formulaci´on cl´asica de teor´ıa de circuitos 5. Medicio´n de potencia
Lab. Metrolog´ıa RF & Microondas - INTI
2 3 5 5 6
Resumen
La Figura 1 muestra un circuito muy simple. Su estudio, sin embargo, puede realizarse a partir de an´alisis muy diferentes. El objetivo principal de este art´ıculo es presentar diferentes formas de resolver y analizar esta situaci´on. Adem´as, a partir de estos resultados, se deducen las expresiones utilizadas en la medicio´n de potencia en RF.
Figura 1: Circuito estudiado. 1
Lab. Metrolog´ıa RF & Microondas - INTI
1. Formulacio´n cl´asica de RF
Sean, en la Figura 2, a y b las ondas de tensi´on incidente y reflejada a la carga, respectivamente. La l´ınea de transmisio´n no tiene p´erdidas, y su impedancia caracter´ıstica es Z0.
bG
a
ΓG
ΓL
b Figura 2: Diagrama de flujo de ondas de tensi´on.
El generador produce una onda de tensio´n incidente, generalmente llamada V+. Esta es la tensi´on incidente debida a VG en una l´ınea de transmisi´on cargada con una impedancia igual a Z0:
V+
=
Z0 ZG +
Z0
VG
(1)
Esta onda de tensio´n, normalizada a la ra´ız de Z0, representa la pseudo-onda bG:
√
bG
=
√V+ Z0
=
(ZG
Z0 + Z0
√ ) Z0
VG
=
ZG
Z0 + Z0
VG
(2)
Entonces las potencias incidente Pi y reflejada Pr resultan:
Pi = |a|2 Pr = |b|2
(3)
Los coeficientes de reflexi´on a la entrada, ΓG, y a la salida, ΓL, son respectivamente:
ΓG
=
ZG ZG
− +
Z0 Z0
ΓL
=
ZL ZL
− +
Z0 Z0
(4)
Por otro lado:
b
ΓL = a
(5)
La potencia disipada en la carga ZL es la diferencia entre la potencia incidente y la reflejada:
Pd = Pi − Pr = |a|2 − |b|2 = |a|2(1 − |ΓL|2) = Pi(1 − |ΓL|2)
(6)
Del diagrama de flujo resulta:
2
Lab. Metrolog´ıa RF & Microondas - INTI
a = bG + ΓG b = bG + a ΓGΓL
(7)
Reordenando se obtiene:
a = bG
(8)
1 − ΓGΓL
Reemplazando en (6):
Pd
=
|bG|2(1 − |ΓL|2) |1 − ΓGΓL|2
(9)
2. Formulacio´n con mu´ltiples reflexiones
Se considera un esquema como el de la Figura 3, en el que VG es la tensi´on RMS del generador. Los coeficientes de reflexio´n a la entrada, ΓG, y a la salida, ΓL, son respectivamente:
bG bGΓL ΓL
ΓG bGΓLΓG
bGΓL2ΓG ΓL ΓG
bGΓL2ΓG2 ΓL
Figura 3: Mu´ltiples reflexiones.
ΓG
=
ZG ZG
− +
Z0 Z0
ΓL
=
ZL ZL
− +
Z0 Z0
(10)
Donde Z0 es la impedancia caracter´ıstica de la l´ınea de transmisio´n. Se consideran las pseudo-ondas a y b, como indica la Figura 3. La onda incidente debida al
generador, bG, fue definida en la seccio´n 1. De esta manera:
3
Lab. Metrolog´ıa RF & Microondas - INTI
b = bGΓL + bGΓGΓL2 + bGΓG2ΓL3 + · · · + bGΓGnΓLn+1 + · · ·
∞
= bGΓL (ΓGΓL)n
n=0 α
(11) (12)
Por lo tanto, se tiene una serie geom´etrica del tipo
∞ n=0
αn,
que
converge
si
|α|
<
1.
Como
los m´odulos de los coeficientes de reflexi´on son menores que 1, la serie converge. En particular,
converge a:
∞
αn =
1
(13)
1−α
n=0
Reemplazando el valor de α:
b = bGΓL
(14)
1 − ΓGΓL
La relacio´n entre las pseudo-ondas a y b esta´ dada por el coeficiente de reflexio´n en la carga:
b
ΓL = a
(15)
A partir de estas relaciones, la potencia incidente Pi y reflejada Pr quedan definidas como:
Pi
=
|a|2
=
|1
|bG|2 − ΓGΓL|2
(16)
y
Pr
=
|b|2
=
|bG|2|ΓL|2 |1 − ΓGΓL|2
(17)
La potencia disipada en la carga, Pd, est´a dada por la diferencia entre las potencias incidente y reflejada:
Pd
=
Pi
−
Pr
=
|bG|2 1 − |ΓL|2 |1 − ΓGΓL|2
(18)
Esta expresi´on es la misma que (9).
4
Lab. Metrolog´ıa RF & Microondas - INTI
3. Definicio´n de Pd, PZ0 y Pav
La expresio´n en (9) o (18) es un restultado general, que relaciona la potencia disipada en la carga Pd con la potencia incidente |bG|2 en funci´on de los coeficientes de reflexio´n a la entrada y a la salida.
A partir de esta expresi´on, se define PZ0 como la potencia entregada por el generador a una carga igual a la impedancia caracter´ıstica, esto es, ZL = Z0. En esta situaci´on, ΓL = 0, resultando:
PZ0 = |bG|2
(19)
De forma similar, se puede definir la potencia disponible en el generador, Pav, que es la m´axi-
ma potencia que ´este es capaz de entregar. Se puede demostrar que la condicio´n para ma´xima transferencia de potencia es ZL = ZG∗, o bien ΓL = ΓG∗. Por lo tanto:
Pav
=
Pd(ΓL=ΓG∗)
=
|bG|2
1 − |ΓG|2 |1 − |ΓG|2|2
=
|bG|2 1 − |ΓG|2
(20)
Despejando |bG|2 en (20) y reemplazando en (9), queda:
Pd
=
Pav
(1
−
|ΓG|2)(1 − |ΓL|2) |1 − ΓGΓL|2
(21)
La expresi´on (21) relaciona la potencia disipada en una carga ZL con la potencia disponible del generador, en funci´on de los coeficientes de reflexio´n a la entrada y a la salida.
4. Formulacio´n cl´asica de teor´ıa de circuitos
Sea VG y VL la tensi´on RMS del generador y en la carga, respectivamente. La tensi´on y la corriente en la carga vale:
VL
=
VGZL ZG + ZL
(22)
IL
=
VG ZG + ZL
(23)
(24)
La potencia disipada en la carga se expresa como la parte real del producto entre la tensio´n y el conjugado de la corriente:
Pd =
(VGIL∗)
=
|VG|2 |ZG +
(ZL) ZL|2
(25)
La potencia m´axima disponible, Pav, se desarrolla sobre la carga cuando se cumple que ZG = ZG∗. En esta situacio´n, dado que |ZG + ZL∗|2 = |2 (ZG)|2:
5
Lab. Metrolog´ıa RF & Microondas - INTI
Pav
=
|VG|2 (ZG∗) |2 (ZG)|2
=
|VG|2 4 (ZG)
(26)
De esta manera:
Pd
=
Pav
4
(ZG) (ZL) |ZG + ZL|2
(27)
Empleando la definicio´n de coeficiente de reflexi´on, se puede escribir:
ZG,L = Z0
1 + ΓG,L 1 − ΓG,L
→
(ZG,L) = Z0
1 − |ΓG,L|2 |1 − ΓG,L|2
(28)
Por otra parte:
|ZG
+
ZL|2
=
4 Z02 |1 − ΓGΓL|2 |1 − ΓG|2 |1 − ΓL|2
(29)
Por lo tanto, reemplazando (28) y (29) en (27) se obtiene:
Pd
=
Pav
(1
−
|ΓG|2)(1 − |ΓL|2) |1 − ΓGΓL|2
(30)
Este es el mismo resultado hallado en (21).
5. Medici´on de potencia
Cuando se mide potencia en RF, la magnitud que interesa conocer es la potencia que el generador
le entregar´ıa a una carga perfectamente adaptada (ZL = Z0), es decir, PZ0. Dado que PZ0 = |bG|2 y utilizando la expresio´n (9), se obtiene:
PZ0
=
Pd
|1 − ΓGΓL|2 1 − |ΓL|2
(31)
Haciendo uso de (6) y (31) se puede escribir:
PZ0
= Pi
(1 1
− −
|ΓL|2) |ΓL|2
|1
−
ΓGΓL|2
= Pi
|1 − ΓGΓL|2
(32)
Se utiliza esta expresio´n dado que los sensores de potencia emplean un par´ametro llamado factor de calibracio´n [1], K, que relaciona la potencia incidente Pi con la potencia de substitucio´n de continua, Psub:
K = Psub
(33)
Pi
6
Lab. Metrolog´ıa RF & Microondas - INTI
A su vez, otro factor utilizado es la eficiencia efectiva, ηe, que indica qu´e porcio´n de la potencia disipada en la carga es efectivamente convertida en potencia de substitucio´n:
ηe
=
Psub Pd
(34)
Puede verse que:
K = ηe (1 − |ΓL|2)
(35)
Despejando Pi en (33) y reemplazando en (32) se obtiene:
PZ0
=
Psub K
|1 − ΓGΓL|2
M
(36)
El t´ermino M se debe a las reflexiones mu´ltiples entre el generador y la carga, y puede ser menor o mayor que uno dependiendo de las fases de ΓG y ΓL.
Referencias
[1] Agilent Application Note 64-1C, Fundamentals of RF and Microwave Measurements. USA, Abril, 2004.
7
Ver+/-
