Incertidumbre por Desadaptacio´n en RF Parte 2
H. Silva G. Monasterios
A. Henze N. Tempone Lab. Metrolog´ıa RF & Microondas, INTI
http://www.inti.gov.ar/electronicaeinformatica/metrologiarf metrologiarf@inti.gov.ar
Mayo 2012 (rev. 08/2012)
Lab. Metrolog´ıa RF & Microondas - INTI
´Indice
1. Introducci´on
2
2. An´alisis del factor de mismatch M
3
2.1. Esperanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1. C´alculo Anal´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.2. M´etodo GUM. Aproximaci´on Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3. Validaci´on del M´etodo. Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. An´alisis del factor de mismatch M M
7
3.1. Esperanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.1. Ca´lculo Anal´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.2. M´etodo GUM. Aproximacio´n Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3. Validaci´on del M´etodo. Monte Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Conclusiones
13
5. Ejemplos
14
5.1. Ejemplo: Medicio´n de potencia absoluta - Generador RF nivelado . . . . . . . . . . . 14
5.1.1. Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.1.2. Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.1.3. Comparacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2. Ejemplo: Medici´on de Potencia Relativa - Atenuaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Bibliograf´ıa
21
1
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1. Introduccio´n
En las mediciones de potencia incidente de un generador de RF se define el factor de desadaptacio´n o mismatch M [2] como:
1
M = |1 − ΓGΓL|2
(1)
donde ΓG es el coeficiente de reflexi´on del generador de sen˜al y ΓL el coeficiente de reflexi´on del sensor de potencia conectado al generador. Cuando no se dispone de la informaci´on de fase de uno o ambos coeficientes de reflexio´n, no es posible corregir M en la medicio´n de potencia, debiendo asumir de esta manera que M = 1 con una incertidumbre asociada [1].
En este trabajo se presenta un m´etodo para cuantificar M y su incertidumbre asociada cuando se conoce en forma simult´anea el m´odulo y la fase (o parte real e imaginaria) de ambos coeficientes de reflexio´n en (1).
Al conocer en forma completa ambos coeficientes, se puede dejar de considerar que M = 1 y calcular su valor exacto, corregiendo el resultado de la medicio´n. De esta manera ya no es necesario asumir “a priori” (segu´n [1]) que cada uno de los coeficientes de reflexi´on tiene un valor “Esperado” nulo y por lo tanto una regi´on de incertidumbre del coeficiente de reflexio´n centrada en el origen.
Lo mismo sucede con el factor de mismatch M M , que aparece durante la calibraci´on de sensores de potencia por el m´etodo de comparaci´on directa [3] cuando se expresa el factor de calibraci´on del sensor bajo prueba (DUT) en funcio´n del factor de calibraci´on del sensor patro´n. La expresi´on anal´ıtica de M M es:
MM
=
|1 − ΓGΓDUT |2 |1 − ΓGΓST D|2
(2)
El factor M M depende de 3 coeficientes de reflexi´on, por lo tanto en funci´on de la informacio´n de las fases disponible puede calcularse el valor de M M en forma parcial (solo el numerador o el denominador) o en forma total (numerador y denominador). Adema´s, como el numerador y el denominador tienen un coeficiente en comu´n, debe tenerse en cuenta la correlacio´n entre ambos en la estimaci´on de las incertidumbres de M M .
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2. An´alisis del factor de mismatch M
2.1. Esperanza
Se utilizan letras mayu´sculas (X, Y ) para designar a las variables aleatorias correspondientes a las
componentes real e imaginaria de Γ = x + jy.
Sean:
ΓG = x1 + jy1
(3)
ΓL = x2 + jy2
(4)
ΓGΓL = (x1x2 − y1y2) + j(x1y2 + x2y1)
(5)
Asumiendo que todas las componentes reales e imaginarias de (3) y (4) son independientes entre s´ı, la esperanza matema´tica es:
E(ΓGΓL) = (E(X1)E(X2) − E(Y1)E(Y2)) + j(E(X1)E(Y2) + E(X2)E(Y1))
= (X¯1X¯2 − Y¯1Y¯2) + j(X¯1Y¯2 + X¯2Y¯1)
(6)
En esta expresi´on X¯ e Y¯ representan los valores medios de las variables real e imaginaria de los coeficientes de reflexio´n. Este valor medio corresponde al valor resultante de la medicio´n de dichos par´ametros.
El valor de M puede aproximarse por la expresi´on:
M ≈ 1 + 2 e(ΓGΓL)
(7)
Finalmente utilizando (6) y (7) la esperanza del factor M resulta:
E(M ) = 1 + 2 (X¯1X¯2 − Y¯1Y¯2)
(8)
La ecuacio´n (8) indica que para poder calcular un valor de la esperanza matem´atica de M que luego permita corregir el error por medicio´n de potencia, debemos conocer el valor real e imaginario de ambos coeficientes de reflexio´n.
Si el valor de la fase de alguno o ambos coeficientes es desconocido y por lo tanto se asume “a priori” que dichos coeficientes de reflexi´on tienen un valor “esperado” nulo, entonces la esperanza matema´tica de M es igual a uno lo que no permite efectuar la correccio´n por mismatch.
3
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2.2. Varianza
2.2.1. C´alculo Anal´ıtico
σ2( e(ΓGΓL)) = E( e(ΓGΓL)2) − E( e(ΓGΓL))2
= E((x1x2 − y1y2)2) − (E(x1x2 − y1y2))2
= X¯12X¯22 − 2(X¯1X¯2Y¯1Y¯2) + Y¯12Y¯22 − (X¯1X¯2 − Y¯1Y¯2)2
(9)
Considerando que para una variable aleatoria X se cumple que:
E(X2) = σX2 + E(X)2
(10)
entonces reemplazando en (9) y operando:
σ2 e(ΓGΓL)) = σ2(X1)σ2(X2) + Y¯22σ2(Y1) + X¯12σ2(X2) + X¯22σ2(X1) + σ2(Y1)σ2(Y2) + Y¯12σ2(Y2) (11)
Para cada coeficiente de reflexi´on medido se asume que las varianzas de las componentes real e imaginaria son iguales entre s´ı, debido al modelo adoptado para la estimacio´n de incertidumbres en la medicio´n del coeficiente de reflexio´n [4][5]:
σG2 = σ2(X1) = σ2(Y1)
(12)
σL2 = σ2(X2) = σ2(Y2)
(13)
operando algebraicamente se tiene:
σ2( e(ΓGΓL)) = 2σG2 σL2 + σG2 (X¯22 + Y¯22) + σL2 (X¯12 + Y¯12)
(14)
σ2( e(ΓGΓL)) = 2σG2 σL2 + |ΓL|2σG2 + |ΓG|2σL2
(15)
Se puede distinguir en la expresio´n (15) una parte no lineal respecto a las varianzas (primer t´ermino) y una parte lineal respecto a las mismas (segundo y tercer t´ermino).
Finalmente, aplicando (15) en (7) la varianza de M resulta:
σ2(M ) = 4 σ2( e(ΓGΓL)) = 8σG2 σL2 + 4|ΓL|2σG2 + 4|ΓG|2σL2
(16)
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2.2.2. M´etodo GUM. Aproximacio´n Lineal
Para verificar la expresi´on de la varianza del factor de mismatch M obtenida en la secci´on 2.2.1, se procede a calcularla nuevamente siguiendo la metodolog´ıa de la GUM [12], para comparar los resultados obtenidos con los anal´ıticos. Cabe sen˜alar que la GUM utiliza una aproximacio´n en serie de Taylor de primer orden para el c´alculo de la varianza del mesurando, donde los coeficientes de cada t´ermino lineal, son las derivadas parciales de la expresio´n a analizar.
Partiendo de la expresi´on (5) se tiene que la parte real de ΓGΓL es:
e(ΓGΓL) = x1x2 − y1y2
(17)
Las derivadas parciales en el punto de trabajo son:
∂
e(ΓGΓL) ∂ x1
= X¯2
(18)
∂
e(ΓGΓL) ∂ y1
= Y¯2
(19)
∂
e(ΓGΓL) ∂ x2
= X¯1
(20)
∂
e(ΓGΓL) ∂ y2
= Y¯1
(21)
Por lo tanto,
σ2 e{ΓGΓL} = X¯22σG2 + Y¯22σG2 + X¯12σL2 + Y¯12σL2
(22)
donde se han tenido las mismas consideraciones que en (12) y (13). Introduciendo el m´odulo de ambos coeficientes de reflexi´on en (22) queda:
σ2( e(ΓGΓL)) = |ΓL|2σG2 + |ΓG|2σL2
(23)
Finalmente, aplicando (23) en (7) la varianza de M resulta:
σ2(M ) = 4 σ2( e(ΓGΓL)) = 4|ΓL|2σG2 + 4|ΓG|2σL2
(24)
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Es interesante notar que tanto la expresio´n (24) analizada mediante la GUM como la expresi´on (16) alcanzada anal´ıticamente coinciden en los t´erminos lineales. La GUM siempre llega a un resultado para el c´alculo de incertidumbres que es una aproximaci´on lineal, en cambio el c´alculo anal´ıtico, al no tener esta restricci´on, llega a una expresio´n m´as exacta.
2.3. Validaci´on del M´etodo. Monte Carlo
En esta seccio´n se comparan los valores de la varianza de M que se obtienen utilizando la expresi´on anal´ıtica (16) y la aproximaci´on lineal siguiendo la metodolog´ıa de la GUM (24), con los resultados que se obtienen con una simulacio´n de Monte Carlo. La simulaci´on de Monte Carlo se realiza con 106 muestras, asignando una distribucio´n gaussiana bivariada a los coeficientes de reflexio´n donde |ΓG| = |ΓL|.
En la Tabla 1 se muestra un caso donde el desv´ıo standard de las componentes de ΓG y ΓL es bajo (σG = σL = 5 mU). Se observa buena coincidencia de ambas expresiones con los resultados de la simulacio´n por Monte Carlo. Las diferencias ma´ximas entre ambas no superan valores de 0, 007 %, disminuyendo au´n m´as a medida que aumenta |ΓG| = |ΓL|
|ΓG| = |ΓL|
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
σ(M ) Expresio´n Anal´ıtica ×10−3 0, 0707 0, 292 0, 570 0, 852 1, 13 1, 42
σ(M ) GUM ×10−3 0 0, 283 0, 566 0, 849 1, 13 1, 41
σ(M ) Monte Carlo ×10−3 0, 0704 0, 291 0, 570 0, 880 1, 15 1, 49
Dif M´ax σ(M ) [ %] 0, 007
0, 0009 0, 0004 0, 0003 < 0, 001 0, 001
Tabla 1: Verificaci´on de las expresiones de mismatch por el m´etodo de Monte Carlo, con σG = σL=0,005
En la Tabla 2 se incrementa el valor del desv´ıo standard de las componentes de ΓG y ΓL a σG = σL = 10 mU. Se observan los mismos efectos que en el caso anterior con diferencias ma´ximas entre ambas que no superan valores de 0, 028 %.
En la Tabla 3 se incrementa el valor del desv´ıo standard de las componentes de ΓG y ΓL a σG = σL = 100 mU. Se observa que el t´ermino alineal de la expresi´on anal´ıtica cobra mayor peso y se registran diferencias sustanciales entre ambas expresiones con diferencias que llegan hasta 2, 83 %. Adem´as los valores de la varianza de M obtenidos con la expresi´on anal´ıtica mantienen una buena coincidencia con las simulaciones.
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|ΓG| = |ΓL|
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
σ(M ) Expresi´on Anal´ıtica ×10−3 0, 283 0, 633 1, 17 1, 72 2, 28 2, 84
σ(M ) GUM ×10−3 0 0, 566 1, 13 1, 70 2, 26 2, 83
σ(M ) Monte Carlo ×10−3 0, 278 0, 629 1, 16 1, 76 2, 35 2, 91
Dif Ma´x σ(M ) [ %] 0, 028 0, 007 0, 004 0, 002 0, 002 0, 001
Tabla 2: Verificaci´on de las expresiones de mismatch por el m´etodo de Monte Carlo, con σG = σL=0,01
|ΓG| = |ΓL|
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
σ(M ) Expresi´on Anal´ıtica ×10−3 28, 3 28, 8 30, 5 33, 0 36, 2 40, 0
σ(M ) GUM ×10−3 0 5, 66 11, 3 17, 0 22, 6 28, 3
σ(M ) Monte Carlo ×10−3 27, 4 28, 8 30, 7 33, 3 37, 0 42, 1
Dif M´ax σ(M ) [ %] 2, 83 2, 31 1, 92 1, 60 1, 36 1, 70
Tabla 3: Verificaci´on de las expresiones de mismatch por el m´etodo de Monte Carlo, con σG = σL=0,1
3. An´alisis del factor de mismatch M M
3.1. Esperanza
Si se asume que los valores de los distintos coeficientes de reflexi´on presentes en (2) son bajos (que es lo que occurre generalmente en la pra´ctica), entonces se puede aproximar M M por medio de las siguientes expresiones:
MM
=
|1 − ΓGΓDUT |2 |1 − ΓGΓST D|2
(1 − 2 e(ΓGΓDUT )) (1 − 2 e(ΓGΓST D))
(1 − 2 e(ΓGΓDUT )) (1 + 2 e(ΓGΓST D))
1 + 2 e(ΓGΓST D) − 2 e(ΓGΓDUT )
(25)
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donde:
ΓG = x1 + jy1
(26)
ΓDUT = x2 + jy2
(27)
ΓST D = x3 + jy3
(28)
Para calcular la esperanza matem´atica de (25) se aplica (6) a los dos u´limos t´erminos de (25):
E(M M ) = 1 + 2 (X¯1X¯3 − Y¯1Y¯3) − 2 (X¯1X¯2 − Y¯1Y¯2)
(29)
A diferencia del factor M estudiado en la secci´on 2 se observa que la esperanza de M M tambi´en puede ser calculada en forma parcial cuando se conoce solamente la informaci´on de fase de algunos de los coeficientes involucrados. Por ejemplo, si se dispone de los valores de las componentes real e imaginaria de ΓG y ΓDUT pero se desconoce la fase de ΓST D, entonces el valor esperado para este u´ltimo coeficiente debe ser considerado “a priori” igual a cero. Dicha adopci´on trae como consecuencia que pueda calcularse el valor del tercer t´ermino de (29) pero no el del segundo t´ermino. Por lo tanto, este u´ltimo se hace nulo y pasa a formar parte de la incertidumbre del factor M M .
3.2. Varianza
3.2.1. C´alculo Anal´ıtico
La varianza total de (25) se calcula segu´n la siguiente expresi´on:
σ2(M M ) = σ2 (1 + 2 e(ΓGΓST D) − 2 e(ΓGΓDUT )) = 4 σ2 ( e(ΓGΓST D)) + 4 σ2 ( e(ΓGΓDUT )) − 8 cov ( e(ΓGΓST D), e(ΓGΓDUT )) (30)
El ca´lculo de la varianza de los dos primeros t´erminos de (30) ya ha sido desarrollado en la secci´on 2.2.1. Utilizando la expresio´n (15) y teniendo en cuenta que cada coeficiente de reflexi´on posee las varianzas de las componentes real e imaginaria iguales entre s´ı, se obtiene:
σ2 ( e(ΓGΓST D)) = 2 σG2 σS2 T D + |ΓST D|2σG2 + |ΓG|2σS2 T D σ2 ( e(ΓGΓDUT )) = 2 σG2 σD2 UT + |ΓDUT |2σG2 + |ΓG|2σD2 UT
(31) (32)
donde:
σG2 = σ2(X1) = σ2(Y1)
(33)
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σD2 UT = σ2(X2) = σ2(Y2)
(34)
σS2 T D = σ2(X3) = σ2(Y3)
(35)
Para finalizar el ca´lculo de la varianza de (30) debemos calcular el t´ermino de covarianza. Teniendo en cuenta la siguiente propiedad de la covarianza:
cov ( e(ΓGΓST D), e(ΓGΓDUT )) =E ( e(ΓGΓST D). e(ΓGΓDUT )) −
(36)
E ( e(ΓGΓST D)) .E ( e(ΓGΓDUT ))
Utilizando la expresio´n (5) y las definiciones de (26) a (28) se tiene que:
e(ΓGΓST D) = x1. x3 − y1. y3
(37)
e(ΓGΓDUT ) = x1. x2 − y1. y2
(38)
Por medio de (6) y asumiendo que todas las componentes reales e imaginarias de (26) a (28) son independientes entre s´ı:
E ( e(ΓGΓST D))) = X¯1X¯3 − Y¯1Y¯3
(39)
E ( e(ΓGΓDUT ))) = X¯1X¯2 − Y¯1Y¯2
(40)
Ya se ha resuelto el segundo t´ermino de (36). Para resolver el primer t´ermino:
e(ΓGΓST D). e(ΓGΓDUT ) = (x1. x3 − y1. y3).(x1. x2 − y1. y2)
= x12 x3 x2 − x1 y1 x3 y2 − x1 y1 y3 x2 + y12 y3 y2
(41)
De la misma forma que en (5) y (6) se procede a calcular la esperanza de (41):
E ( e(ΓGΓST D). e(ΓGΓDUT )) =E(X12)X¯3X¯2 − X¯1Y¯1X¯3Y¯2 − X¯1Y¯1Y¯3X¯2 + E(Y12)Y¯3Y¯2
(42)
Reemplazando (10) en (42):
E ( e(ΓGΓST D). e(ΓGΓDUT )) = σ2(X1) + E(X1)2 X¯3X¯2 − X¯1Y¯1X¯3Y¯2 − X¯1Y¯1Y¯3X¯2 + σ2(Y1) + E(Y1)2 Y¯3Y¯2
(43)
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Finalmente, por medio de (39), (40) y (43), podemos expresar el t´ermino de covarianza de (30):
cov ( e(ΓGΓST D), e(ΓGΓDUT )) = σ2(X1) + X¯12 X¯3X¯2 − X¯1Y¯1X¯3Y¯2
− X¯1Y¯1Y¯3X¯2 + σ2(Y1) + Y¯12 Y¯3Y¯2
(44)
− (X¯1X¯3 − Y¯1Y¯3).(X¯1X¯2 − Y¯1Y¯2)
Operando algebraicamente y teniendo siempre en cuenta que cada coeficiente de reflexi´on posee las varianzas de las componentes real e imaginaria iguales entre s´ı, la expresio´n (44) se reduce a:
cov ( e(ΓGΓST D), e(ΓGΓDUT )) = σG2 X¯3X¯2 + Y¯3Y¯2
(45)
Ahora es posible expresar en forma completa la varianza de M M . Por medio de (30), (31), (32) y (45) se obtiene:
σ2(M M ) =4 2 σG2 σS2 T D + |ΓST D|2σG2 + |ΓG|2σS2 T D + 4 2 σG2 σD2 UT + |ΓDUT |2σG2 + |ΓG|2σD2 UT − 8 σG2 (X¯3X¯2 + Y¯3Y¯2)
σ2(M M ) = 8σG2 σS2 T D + 4|ΓST D|2σG2 + 4|ΓG|2σS2 T D + 8σG2 σD2 UT + 4|ΓDUT |2σG2 + 4|ΓG|2σD2 UT − 8σG2 (X¯3X¯2 + Y¯3Y¯2) (46)
3.2.2. M´etodo GUM. Aproximaci´on Lineal
Para verificar la expresio´n de la varianza del factor de mismatch M M reci´en desarrollada, se procede a calcularla nuevamente siguiendo la metodolog´ıa de la GUM [12]. En el suplemento 2 de dicha gu´ıa [13] se detalla la siguiente expresio´n matricial:
Uy = Cx.Ux.CxT
(47)
En esta ecuacio´n, Ux corresponde a la matriz covarianza de entrada. Para el caso de M M , asumiendo siempre que todas las componentes reales e imaginarias de (26) a (28) son independientes entre s´ı y que las varianzas de las componentes real e imaginaria son iguales:
σ12 0 0 0 0 0
0 σ12 0 0 0 0
Ux
=
0 0
0 σ22 0 0 0 σ22
0 0
0
0
(48)
0
0
0
0
σ32
0
0 0 0 0 0 σ32
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Uy corresponde a σ2(M M ) la cual es una magnitud unidimensional. La matriz Cx, al ser la salida unidimensional, corresponde a un vector traspuesto que incluye los coeficientes de sensibilidad de la siguiente forma:
∂MM ∂MM ∂MM ∂MM ∂MM ∂MM
Cx = ∂x1
∂y1
∂x2
∂y2
∂x3
∂y3
(49)
Utilizando la expresi´on aproximada de M M (25) se obtienen las derivadas parciales de (49). A su vez estas derivadas parciales est´an evaluadas en el punto de trabajo:
∂MM ∂x1
= −2
X¯2 + 2
X¯3
∂MM ∂y1
=2
Y¯2 − 2
Y¯3
∂MM ∂x2
= −2
X¯1
∂MM ∂y2
=2
Y¯1
∂MM ∂x3
=2
X¯1
∂MM ∂y3
= −2
Y¯1
(50)
Resolviendo (47) con (48) y (49) se obtiene:
σ2(M M ) = 4 |ΓST D|2σG2 + |ΓG|2σS2 T D + 4 |ΓDUT |2σG2 + |ΓG|2σD2 UT − 8 σG2 (X¯3X¯2 + Y¯3Y¯2) σ2(M M ) = 4|ΓST D|2σG2 + 4|ΓG|2σS2T D + 4|ΓDUT |2σG2 + 4|ΓG|2σD2 UT − 8σG2 (X¯3X¯2 + Y¯3Y¯2) (51)
Se observa que la expresi´on (51) difiere de (46) en que la primera no posee los t´erminos no lineales respecto a las varianzas. Esta diferencia ya se hab´ıa encontrado cuando se comparo´ la varianza del factor M obtenida en forma anal´ıtica (16) y mediante el m´etodo GUM (24).
Por lo tanto, al igual que con el calculo de σ2(M ), el m´etodo de la GUM llega a un resultado para el c´alculo de incertidumbres que es una aproximacio´n lineal respecto a las varianzas de las variables de entrada. En cambio, el ca´lculo anal´ıtico, al no tener esta restriccio´n, llega a una expresio´n m´as exacta.
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3.3. Validaci´on del M´etodo. Monte Carlo.
En esta seccio´n se comparan los valores de la varianza de M M que se obtienen utilizando la expresion anal´ıtica (46) y la aproximacio´n lineal siguiendo la metodolog´ıa de la GUM (51), con los resultados que se obtienen con una simulaci´on de Monte Carlo. Al igual que en la seccio´n 2.3 la comparacio´n entre los resultados de las expresiones de M M se hace mediante tablas y la simulacio´n de Monte Carlo se realiza con 106 muestras, asignando una distribuci´on gaussiana bivariada a los coeficientes de reflexi´on donde |ΓG| = |ΓDUT | = |ΓST D|.
En la Tabla 4 se muestra un caso donde el desv´ıo standard de las componentes de ΓG,ΓDUT y ΓST D es bajo (σG = σDUT = σST D = 5 mU). Se observa buena coincidencia de ambas expresiones con los resultados de la simulacio´n por Monte Carlo. Las diferencias m´aximas entre ambas no superan valores de 0, 01 %, disminuyendo au´n ma´s a medida que aumenta |ΓG| = |ΓDUT | = |ΓST D|
|ΓG| = |ΓL|
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
σ(M M ) Expresio´n Anal´ıtica ×10−3 0, 100 0, 300 0, 575 0, 854 1, 14 1, 42
σ(M M ) GUM ×10−3 0 0, 283 0, 566 0, 849 1, 13 1, 41
σ(M M ) Monte Carlo ×10−3 0, 0973 0, 300 0, 571 0, 863 1, 13 1, 41
Dif M´ax σ(M M ) [ %] 0, 010
0, 0017 0, 0009 0, 0005 0, 001 0, 001
Tabla 4: Verificaci´on de las expresiones de mismatch por el m´etodo de Monte Carlo, con σG = σDUT = σST D=0,005
En la Tabla 5 se incrementa el valor del desv´ıo standard de las componentes de ΓG,ΓDUT y ΓST D a σG = σDUT = σST D = 10 mU. Se observan los mismos efectos que en el caso anterior con diferencias m´aximas entre ambas que no superan valores de 0, 04 %.
|ΓG| = |ΓL|
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
σ(M M ) Expresio´n Anal´ıtica ×10−3 0, 400 0, 693 1, 20 1, 74 2, 30 2, 86
σ(M M ) GUM ×10−3 0 0, 566 1, 13 1, 70 2, 26 2, 83
σ(M M ) Monte Carlo ×10−3 0, 410 0, 688 1, 19 1, 76 2, 29 2, 89
Dif M´ax σ(M M ) [ %] 0, 040 0, 013 0, 007 0, 004 0, 004 0, 003
Tabla 5: Verificaci´on de las expresiones de mismatch por el m´etodo de Monte Carlo, con σG = σDUT = σST D=0,01
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En la Tabla 6 se incrementa el valor del desv´ıo standard de las componentes de ΓG,ΓDUT y ΓST D a σG = σDUT = σST D = 100 mU. Se observa que los t´erminos alineales de la expresi´on anal´ıtica cobran mayor peso y se registran diferencias sustanciales entre ambas expresiones con diferencias que llegan hasta 4 %. Adema´s los valores de la varianza de M M obtenidos con la expresio´n anal´ıtica mantienen una buena coincidencia con las simulaciones.
|ΓG| = |ΓL|
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
σ(M M ) Expresi´on Anal´ıtica ×10−3 40, 0 40, 4 41, 6 43, 5 46, 0 49, 0
σ(M M ) GUM ×10−3 0 5, 66 11, 3 17, 0 22, 6 28, 3
σ(M M ) Monte Carlo ×10−3 39, 6 40, 2 42, 1 44, 6 46, 0 49, 3
Dif Ma´x σ(M M ) [ %] 4, 00 3, 47 3, 03 2, 65 2, 34 2, 07
Tabla 6: Verificaci´on de las expresiones de mismatch por el m´etodo de Monte Carlo, con σG = σDUT = σST D=0,1
4. Conclusiones
En las tablas comparativas de la secciones 2.3 y 3.3 se puede apreciar que si el desv´ıo standard de las componentes de los coeficientes de reflexi´on es comparativamente pequen˜o respecto al valor de sus m´odulos, las expresiones de M y M M obtenidas en forma anal´ıtica y mediante el m´etodo de la GUM obtienen resultados similares y coincidentes con los resultados generados mediante la simulacio´n por Monte Carlo. Sin embargo, cuando el valor del desv´ıo standard de las componentes de los coeficientes de reflexi´on aumenta respecto a sus mo´dulos, el t´ermino alineal de la expresio´n anal´ıtica comienza a influir. En estos casos, se deben utilizar las expresiones (16) y (46) para calcular correctamente la varianza de M y M M respectivamente. En el resto de los casos, la aproximacio´n lineal siguiendo la metodolog´ıa de la GUM permite obtener un valor adecuado para estimar la incertidumbre por desadaptaci´on.
Los casos vistos en la Primera Parte de este trabajo [1], donde la informaci´on disponible no es completa por desconocimiento de la fase de los coeficientes de reflexi´on, conducen a un aumento en la estimacio´n de la incertidumbre por mismatch, por medio de las distribuciones Anillo-Anillo, Disco-Disco y Disco-Anillo. La utilizacio´n de la informaci´on de los coeficientes de reflexi´on involucrados en el factor de mismatch, reduce la incertidumbre porque no se considera a M o M M solo como una fuente de incertidumbre, sino que puede calcularse su valor con una incertidumbre asociada mucho menor. En el ejemplo 5.1 se hace un ana´lisis num´erico detallado de estas diferencias.
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5. Ejemplos
5.1. Ejemplo: Medici´on de potencia absoluta - Generador RF nivelado
Se analiza la medici´on de la potencia de la salida de un generador de RF, nivelado mediante un divisor de potencia. En este caso, el coeficiente de reflexi´on que percibe el sensor de potencia hacia el generador es el coeficiente de reflexio´n equivalente del divisor de potencia [9], dado por la expresi´on:
Γeq
=
s33
−
s31
s23 s21
(52)
donde se considera que el puerto de salida es el puerto 3. Se plantean dos casos:
1 So´lo se dispone de las especificaciones (valores m´aximos) del divisor de potencia y del sensor de potencia (secci´on 5.1.1). En este caso, se debe considerar M = 1.
2 Se dispone de los valores medidos en mo´dulo y fase tanto para el divisor de potencia como para el sensor de potencia (secci´on 5.1.2). En este caso, es posible calcular un valor de M y corregir el valor medido.
La medici´on de potencia se realiza con un sensor de potencia con coeficiente de reflexi´on ΓL, conectado a un medidor de potencia. La potencia medida en el medidor es Pi = 5,77 dBm. El par´ametro de inter´es es la potencia P gZo, es decir, la que disipar´ıa una carga ideal de impedancia Zo, dada por:
P gZo
=
Pi M
= Pi × |1 − ΓeqΓL|2
(53)
5.1.1. Caso 1
Medidor de potencia Potencia incidente Pi = 5,77 dBm Desv´ıo standard σ(Pi) = 0,05 dB
Divisor de potencia Marca: Agilent Modelo: 11667A Especificacio´n @18 GHz: |Γeq|MAX = 0,141
Sensor de potencia Marca: Agilent Modelo: E4412A Especificacio´n @18 GHz: |ΓL|MAX = 0,119
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Figura 1: Esquema de medici´on de la salida equivalente de un generador de RF
La varianza total de P gZo se obtiene como:
σ2(P gZo) = P gZ2 o
σ(Pi)2 Pi2
+ P gZ2 o
σ(M )2 M2
(54)
Como se menciono´, se debe considerar un valor de M = 1 (Γeq = ΓL = 0). Se puede asumir que el producto ΓeqΓL tiene una distribuci´on Disco/Disco centrada en el origen, dado que se conocen sus valores ma´ximos especificados[1]. Para el caso de una distribuci´on de este tipo:
σeq
=
|Γeq |M AX 2
(55)
σL
=
|ΓL |M AX 2
(56)
Por lo tanto, reemplazando en la expresio´n (16), se calcula el desv´ıo standard de M como:
σ(M ) = σ2(M ) = 8σe2qσL2 + 4 |ΓL|2σe2q + 4 |Γeq|2σL2 = 0,0119
(57)
Entonces, se tienen todos los valores para calcular el resultado de la expresi´on (54):
σ2(P gZo) = 4,045 × 10−9 W2
(58)
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Por lo tanto,
σ(P gZo) = 6,360 × 10−5 W
(59)
σ(P gZo)[ %]
=
σ(P gZo) = 1,68 % P gZo
(60)
5.1.2. Caso 2
Medidor de potencia Potencia incidente Pi = 5,77 dBm Desv´ıo standard σ(Pi) = 0,05 dB
Divisor de potencia Marca: Agilent Modelo: 11667A Datos de certificado @18 GHz: |Γeq| = 0,105; φ(Γeq) = 95◦; σeq = 0,0075.
Sensor de potencia Marca: Agilent Modelo: E4412A Datos de certificado @18 GHz: |ΓL| = 0,016; φ(ΓL) = 46◦; σL = 0,065.
En este caso, como se conocen los valores de Γeq y ΓL, se puede calcular M como:
1 M = |1 − ΓeqΓL|2 = 0,9974 Por lo tanto, se corrige el valor correcto de P gZo:
P gZo
=
Pi M
= 3,776 × 10−3 × 0,9974
W = 3,766 × 10−3
W
(61)
En la expresi´on (16), ahora se deben reemplazar los valores de los coeficientes de reflexio´n medidos
(sus valores medios ya no son 0). Las varianzas surgen de los certificados de calibracio´n. De esta
manera, el desv´ıo standard de M resulta:
σ(M ) = σ2(M ) = 8σe2qσL2 + 4 |ΓL|2σe2q + 4 |Γeq|2σL2 = 0,0014
(62)
Entonces, se tienen todos los valores para calcular el resultado de la expresio´n 54:
σ2(P gZo) = 1,950 × 10−9
(63)
Por lo tanto,
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σ(P gZo) = 4,416 × 10−5 W
(64)
σ(P gZo)[ %]
=
σ(P gZo) = 1,17 % P gZo
(65)
5.1.3. Comparaci´on
En la Tabla 7 se detallan algunos valores importantes de los casos analizados en este ejemplo. Se puede observar que en el caso 1 el valor de M no se corrige ya que se desconocen los valores complejos de Γeq y ΓL. El mayor cambio producido en el caso 2 es la disminucio´n de σ(M ), lo que reduce su contribucio´n de 52,7 % a 1,5 %. Esto se ve reflejado en una disminuci´on del desv´ıo standard final del mesurando σ(P gZo), de 1,68 % a 1,17 %.
Magnitud σeq σL M
σ(M ) σ(P gZo)/P gZo
Caso 1 0,0705 (distrib. Disco) 0,0595 (distrib. Disco)
1 0,0119 1,68 %
Caso 2 0,0075 (distrib. gaussiana) 0,0650 (distrib. gaussiana)
0,9974 0,0014 1,17 %
Tabla 7: Comparaci´on de los casos 1 y 2
En la Figura 2 se observa claramente que el valor de M se corrige en el caso 2, a la vez que su desv´ıo standard disminuye considerablemente. Esto es una consecuencia directa de disponer de los resultados de medicio´n, con una incertidumbre relativamente baja. La Figura 3 muestra de qu´e manera resulta el valor final de la medicio´n de P gZo con su desv´ıo standard, tanto en el caso 1 como en el caso 2. Se verifica gra´ficamente la reduccio´n del desv´ıo standard en el segundo caso.
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Figura 2: Comparaci´on de M (desv´ıos a 1 σ)
Figura 3: Comparaci´on de P gZo [dBm] (desv´ıos a 1 σ) 18
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5.2. Ejemplo: Medici´on de Potencia Relativa - Atenuaci´on
A continuaci´on se analizar´a la medicio´n del paso de 30 dB de un atenuador por pasos mediante un generador de RF y un power meter.
Figura 4: Esquema de medici´on de Atenuaci´on
Generador de RF Marca: Rohde & Schwarz Modelo: SMR40 Especificaci´on: ROE < 2
Sensor de Potencia Marca: Agilent Modelo: E4412A Datos de Certificado de Calibraci´on @15 GHz: |ΓL| = 0,020, σ = 0,012 ; φ(ΓL) = −65◦
Atenuador Agilent 8491B - 30 dB |S11|15 GHz = 0,021 (valor de certificado de calibracio´n), σ = 0,005 |S21|15 GHz = 0,027 (valor medido) |S22|15 GHz = 0,049 (valor de certificado de calibraci´on), σ = 0,005 ; φ(S22) = 14◦
Se utilizan las expresiones para el c´alculo del mismatch en mediciones de atenuaci´on y su varianza desarrolladas en [1]:
M [dB] ≈ 4,343 (−2 Re{ΓGS11} − 2 Re{ΓLS22} − 2 Re{|S21|2ΓGΓL} + 2 Re{ΓGΓL})
(66)
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σ(M )[dB] ≈ (4,343)2[4σ2( e(ΓGS11)) + 4σ2( e(ΓLS22)) + 4σ2( e(S221ΓGΓL)) + 4σ2( e(ΓGΓL))] (67)
Se ve que en el primer t´ermino de la raiz de (67) se conoce solamente la fase de S11, este caso es coincidente con la distribuci´on Disco/Anillo vista en [1] y se calcula como:
4σ2( e(ΓGS11)) = 4 × [2 σ2(ΓG)σ2(S11)] = 0,332 × 0,0212 = 0,48 × 10−4 En el caso del pr´oximo t´ermino los coeficientes de reflexio´n son conocidos, por lo que la varianza se obtiene por medio de (15):
4σ2( e(ΓLS22)) =4 × [2σ12σ22 + |ΓL|2σ12 + |S22|2σ22] =8 × 0,0052 × 0,0122 + 4 × 0,0202 × 0,0052 + 4 × 0,0492 × 0,0122 = 1, 45 × 10−6
En el caso del tercer t´ermino que incluye al lazo a trav´es del DUT, se conoce solamente la fase de ΓL por lo tanto que este caso es del tipo Disco/Anillo: 4σ2( e(S221ΓGΓL)) = 4×[2 |S21|4σ2(ΓG)σ2(ΓL)] = |S21|4×|ΓG|2×|ΓL|2 = 0,0274×0,332×0,0202 ≈ 0
De igual forma para el u´ltimo t´ermino se obtiene:
4σ2( e(ΓGΓL)) = 4 × [2 σ2(ΓG)σ2(ΓL)] = |ΓG|2|ΓL|2 = 0,332 × 0,0202 = 43,6 × 10−6
Sumando todas las contribuciones, queda:
σ(M ) = (4,343) 0,48 × 10−4 + 1,45 × 10−6 + 43,6 × 10−6
σ(M ) = 0,04 dB (1-sigma)
Finalmente el valor del mismatch en atenuacio´n puede ser calculado parcialmente para el segundo
t´ermino de (66) debido a que es el u´nico del cual se dispone de la informacio´n completa de sus
coeficientes (el resto de los t´erminos se asumen iguales a 0 dB segu´n lo visto en [1]). Por medio de
(6) se obtiene:
E(M ) = −2 × 4,343 × (X¯1X¯2 − Y¯1Y¯2)
E(M ) = −0,01 dB
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En este ejemplo se desconoce la fase del coeficiente de reflexi´on del generador de RF, por lo tanto los t´erminos de (66) que lo incluyen son independientes entre s´ı. A su vez tambi´en se desconoce la fase de S21 (el esquema de medicio´n de la figura 4 no permite dicha medicio´n), lo que hace que los dos t´erminos que incluyen a ΓL tambi´en sean independientes. Por esta raz´on la ecuaci´on (67) no contiene t´erminos de covarianzas. En el caso de conocer ΓG, aparecera´n entonces t´erminos de covarianza en (67) que debera´n ser evaluados mediante la expresio´n (45) en funci´on de los coeficientes de reflexi´on en comu´n de los t´erminos de (66) correlacionados.
Referencias
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[2] Agilent (AN 1449-3): Fundamentals of RF and Microwave Power Measurements (Part 3), Apr 2011.
[3] Weidman, M.P., Direct comparisson transfer of microwave power ssensor calibration”. En NIST Technical Note 1379, volumen AP-13, P´aginas 488-499, Enero 1996.
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[5] R. Willink, B. D. Hall, “A classical method for uncertainty analysis with multidimensional data”, en Metrologia, vol. 39, p´ag. 361-369, 2002.
[6] Harris, I.A.; Warner, F.L., “Re-examination of mismatch uncertainty when measuring microwave power and attenuation”, Microwaves, Optics and Antennas, IEE Proceedings H , vol.128, no.1, pp.35-41, Feb 1981.
[7] Warner, F.L., “Microwave attenuation measuremnt”, (Peter Peregrinus, 1977) , chaps 2, 8 & 14.
[8] Blair Hall: The uncertainty of a complex quantity with unknown phase, 33th ANAMET Meeting, May 2010.
[9] Engen, G.F., “Amplitude Stabilization of a Microwave Signal Source”, Microwave Theory and Techniques, IRE Transactions on , vol.6, no.2, pp.202-206, Apr 1958.
[10] Guldbrandsen, T., “Uncertainty contributions from mismatch in microwave measurements”, Microwaves, Antennas and Propagation, IEE Proceedings - , vol.148, no.6, pp.393-397, Dec 2001.
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Meeting, March 2008. [12] BIPM: Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measu-
rement, Sep 2008. [13] BIPM: Evaluation of measurement data — Suplement 2 to the “Guide to the expression of
uncertainty in measurement”— Extension to any number of output quantities, Oct 2011.
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