Mecánica Computacional Vol XXVII, págs. 3457-3477 (artículo completo) Alberto Cardona, Mario Storti, Carlos Zuppa. (Eds.) San Luis, Argentina, 10-13 Noviembre 2008
CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS QUE CARACTERIZAN LA FLUENCIA DE UN MATERIAL Y SUS INCERTIDUMBRES
a,b
a,c
b
Ariel E. Matusevich , Julio C. Massa y Reinaldo A. Mancini
a Facultad de C. E. F. y N., Universidad Nacional de Córdoba, Casilla de Correo 916, 5000 Córdoba, Argentina, amatusevich@efn.uncor.edu, http://www.efn.uncor.edu
b Laboratorio de Ensayos Mecánicos, Instituto Nacional de Tecnología Industrial, Centro Regional Córdoba, Av. Velez Sarsfield 1561, 5000 Córdoba, Argentina, rmancini@inti.gov.ar
c Departamento de Mecánica, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Río Cuarto, Ruta Nacional 36 Km. 601, 5800 Río Cuarto, Argentina, jmassa@efn.uncor.edu, http://www.ing.unrc.edu.ar
Palabras clave: Ensayo de tracción, incertidumbre
Resumen. En la actualidad se requiere que los laboratorios de ensayo y calibración posean y apliquen procedimientos para la evaluación de la incertidumbre de medición. Si bien no se disponen de lineamientos específicos para la evaluación de las incertidumbres asociadas a los valores medidos en un ensayo de tracción, la práctica aconsejada es emplear la metodología general que brinda el documento de la ISO: “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement”. La aplicación de esa metodología resulta sencilla para algunos de los parámetros típicamente informados en el ensayo, tales como la resistencia a la tracción, el porcentaje de alargamiento o la reducción porcentual de área. Sin embargo, la evaluación no resulta simple en el caso del límite convencional de fluencia. Dicho parámetro, que representa la forma más habitual de definir la fluencia de un material, se obtiene de la curva tensión-deformación resultante del ensayo, hallando la intersección entre la curva de ensayo y una recta paralela a la zona lineal de la misma. Para evaluar la incertidumbre en la determinación de este parámetro, se hace imprescindible reanalizar la curva obtenida en el ensayo mediante una herramienta computacional adecuada.
Se describen aquí, los diferentes parámetros que permiten caracterizar la fluencia de un material y se presenta una metodología computacional para el cálculo de los mismos y de sus incertidumbres. La metodología mencionada, dio origen a una herramienta computacional en el ambiente de programación Matlab® para el cálculo de los valores típicos en un ensayo de tracción y sus incertidumbres. Dicha herramienta, que se presenta en éste trabajo, se utiliza actualmente en el laboratorio de ensayos mecánicos del Instituto Nacional de Tecnología Industrial, Centro Regional Córdoba (INTI Córdoba ).
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1. NOMENCLATURA
En el presente trabajo se utilizan los siguientes símbolos:
A Alargamiento porcentual de la probeta. cxi Coeficiente de sensibilidad asociado a la variable de entrada xi. e Elongación ingenieril. FeH Fuerza que corresponde al punto de fluencia superior ReH. FeL Fuerza que corresponde al punto de fluencia inferior ReL. Fm Carga máxima registrada (corresponde a Rm). Fp Fuerza que corresponde al límite convencional de fluencia Rp Ft Fuerza que corresponde al parámetro Rt. k Factor de cobertura. Le Longitud inicial del extensómetro utilizado. ReH Punto superior de fluencia. ReL Punto inferior de fluencia. Rm Resistencia a la tracción. Rp Límite convencional de fluencia. Rp0,2 Límite convencional de fluencia para una deformación permanente del 0,2 %. Rt Tensión para una deformación total especificada. Rt 0,5 Tensión para una deformación total especificada del 0,5 %. s Desviación estándar. S0 Sección transversal inicial de la probeta. u(xi ) Incertidumbre estándar de la variable de entrada xi. u(xi,xj) Covarianza entre las variables xi y xj. uc( f ) Incertidumbre estándar combinada del mensurando f. U Incertidumbre expandida. Z Reducción porcentual del área de la probeta. α Fracción especificada de la longitud del extensómetro (i.e. 0,002 ó 0,005 ). ε Deformación ingenieril (ε = e / Le ). σ Tensión ingenieril. υxi Grados de libertad asociado a la variable de entrada xi.
2. INTRODUCCIÓN
Un ensayo de tracción consiste en someter a una probeta de dimensiones normalizadas o bien de tamaño completo, a una carga uniaxial de tracción que se incrementa continuamente hasta producir la rotura de la probeta. Se realiza mediante una máquina de ensayo que registra de manera simultánea los valores de carga y elongación correspondientes. De esos registros se obtienen ciertos parámetros que caracterizan las propiedades mecánicas del material ensayado, tales como la resistencia a la tracción (Rm), el límite convencional de fluencia (Rp ), el alargamiento porcentual de rotura (A ) y la reducción porcentual de área (Z ). Abundante información
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sobre este ensayo puede encontrarse en libros de resistencia de materiales, metalurgia física, etc. (Dieter, 1986 ). Sin lugar a dudas, se trata de uno de los ensayos destructivos más importantes.
Es importante que el resultado de toda medición o ensayo sea acompañado por un parámetro que caracterice la dispersión de los valores que pueden atribuirse al mensurando. Dicho parámetro se denomina incertidumbre de la medición y permite comparar de manera realista los resultados obtenidos con los valores de referencia dados por las normas o especificaciones, o bien con las mediciones de otros laboratorios. Actualmente es un requisito para los laboratorios de ensayo y calibración, aplicar procedimientos para la determinación de la incertidumbre de medición (IRAM 301, 2005).
En el caso del ensayo de tracción de materiales metálicos, las normas que lo rigen (ASTM E8-04, 2004; EN 10002-1, 2001; IRAM IAS U 500-102, 1987), no mencionan el cálculo de las incertidumbres asociados a los parámetros obtenidos, a excepción de (EN 10002-1, 2001) en su anexo J de carácter informativo. En dicho anexo se estiman las incertidumbres como porcentajes fijos de los valores medidos, mediante un “balance de errores”, basado en las tolerancias especificadas en las normas de ensayo y calibración. Los porcentajes estimados son: 2,6 % para la reducción porcentual de área Z, 2,3 % para el límite convencional de fluencia Rp0,2 y 1,6 % para los valores de Rm, y A.
En este trabajo se evalúan las incertidumbres de los parámetros del ensayo, siguiendo los lineamientos de la guía: “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement” (BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML, 1993), conocida en forma abreviada como “La GUM”. Dicha guía, cuya aplicación es requerida por la mayoría de los organismos de acreditación, describe los métodos aceptados por la mayoría de los laboratorios para cuantificar en forma razonable la incertidumbre de medición.
La utilización de la metodología que brinda la GUM, resulta sencilla para los parámetros, A, Z y Rm. Sin embargo, no resulta simple en el caso del límite convencional de fluencia Rp. Recordar que el cálculo de dicho parámetro, implica ajustar mediante una recta la parte proporcional de la curva tensión vs. deformación y hallar el valor de la intersección de otra recta paralela a la primera con el tramo no lineal de la curva. Si se utiliza una máquina de ensayos moderna, los cálculos se realizan mediante un software específico de la máquina de ensayo y como consecuencia de esto, las técnicas de cálculo empleadas y los parámetros del ajuste, elementos esenciales para la evaluación de la incertidumbre, no se encuentran disponibles. Resulta por lo tanto indispensable reanalizar los datos experimentales producto del ensayo. Esta fue la razón principal que motivó a los autores a desarrollar una herramienta computacional en el ambiente Matlab®, para reanalizar los datos resultantes de un ensayo y evaluar las incertidumbres correspondientes. Dicha herramienta se utiliza actualmente en el Laboratorio de Ensayos Mecánicos de INTI Córdoba (www.inti.gov.ar), acreditado por el Organismo Argentino de Acreditación (OAA).
Este trabajo está organizado de la siguiente manera. En una primera parte, se describen los parámetros comúnmente usados para caracterizar la fluencia de un material siguiendo la bibliografía clásica (Dieter, 1986 ). Luego se describen los métodos propuestos para el cálculo de dichos parámetros y la evaluación de sus incertidumbres. En una segunda parte, se describe la herramienta desarrollada para el cálculo de parámetros e incertidumbres en el ensayo de tracción y se analizan algunas curvas de ensayo típicas. Finalmente se exponen las conclusiones del trabajo.
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3. FORMAS DE CARACTERIZAR LA FLUENCIA DE UN MATERIAL
La determinación de la tensión a partir de la cual comienza a observarse una deformación plástica, depende de la sensibilidad del instrumento utilizado para medir la deformación. En la mayoría de los metales, la transición entre el comportamiento elástico y el plástico resulta gradual y por lo tanto, el punto donde comienza la deformación plástica resulta difícil de definir con precisión.
Para estos casos, existen básicamente 3 criterios para definir el inicio de la región plástica: 1) el límite elástico (punto B Figura 1), que es la mayor tensión que un metal puede soportar sin presentar una deformación permanente al dejar de aplicar la carga; 2) el límite de proporcionalidad (punto A de la Figura 1), que es la tensión para la cual la curva tensióndeformación deja de ser lineal y 3) el límite convencional de fluencia Rp (punto C de la Figura 1), que es la tensión que corresponde a una deformación plástica especificada.
Tensión, σ
C
B A
Deformación, ε
Figura 1: Curva típica con transición suave
Debido a las dificultades prácticas inherentes a la medición del límite de proporcionalidad y del límite elástico, se utiliza comúnmente el límite convencional de fluencia Rp en aplicaciones de ingeniería y especificaciones técnicas, debido a que este valor puede reproducirse más fácilmente en diferentes laboratorios.
Para ciertos materiales tales como el cobre blando o la fundición gris, no es posible definir en la curva tensión vs. deformación una zona lineal. En estos casos, es conveniente definir la tensión de fluencia Rt, como la tensión que corresponde a una deformación total especificada.
Existen otros casos donde la transición entre la zona elástica y la zona plástica está bien definida. Se puede distinguir el fenómeno de fluencia, cuando se alcanza un punto donde la deformación plástica ocurre sin incremento de la carga (ver Figura 2). La tensión que corresponde a dicho punto se denomina límite de fluencia (IRAM IAS U 500-102, 1987 ). Si la carga no permanece constante pero fluctúa levemente entre ciertos valores, el fenómeno se denomina fluencia discontinua (Figura 3) y se presenta comúnmente en aceros de bajo carbono en estado recocido.
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Tensión, σ Tensión, σ
Deformación, ε
Figura 2: Fenómeno de fluencia
Deformación, ε
Figura 3: Fluencia discontinua
En presencia de fluencia discontinua, deben determinarse dos parámetros (ver Figura 4): el punto de fluencia superior (ReH) que es el valor de la tensión en el primer pico registrado y el punto de fluencia inferior (ReL) que corresponde a la tensión mínima registrada durante el fenómeno de fluencia discontinua. En aceros donde se presenta éste fenómeno, se utiliza el punto fluencia inferior ReL para caracterizar la fluencia. Esto se debe a que la medición del punto de fluencia superior ReH es extremamente sensible a la alineación entre la probeta y la aplicación de la carga (Han, 1992).
ReH
Tensión, σ
ReL
Deformación, ε
Figura 4: Puntos de fluencia superior e inferior
En esta sección se presentan procedimientos de cálculo para la determinación de los puntos de fluencia superior ReH e inferior ReL, el límite convencional de fluencia Rp y la tensión Rt que corresponde a una deformación total especificada. Dichos parámetros son los mas utilizados para caracterizar las fluencia de un material.
3.1 Caso de fluencia discontinua - Puntos de fluencia superior e inferior
En presencia de fluencia discontinua, deben determinarse dos tensiones, el punto superior de fluencia (ReH) y el punto inferior de fluencia (ReL):
ReH
=
FeH S0
ReL
=
FeL S0
(1)
donde S0 es el área inicial de la probeta y FeH, FeL son las cargas asociadas a dichas tensiones.
En esta sección se describe el procedimiento propuesto para determinar esas cargas.
Si bien el número de puntos experimentales registrados en un ensayo depende de la velocidad de deformación y de la frecuencia de adquisición de datos seleccionada, en general las máquinas modernas registran típicamente entre mil y dos mil valores de carga y elongación.
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Dichos puntos experimentales poseen dispersión, por lo que su tratamiento debe basarse en fundamentos estadísticos sólidos. De manera “informal ” se habla de la “curva ” carga vs. elongación, pero en realidad se tienen registros de dos series temporales (ei, Fi ) que debido a la aleatoriedad no son monótonas crecientes ni aún en el período lineal.
Para determinar la carga correspondiente al punto de fluencia superior, se inspeccionan los puntos experimentales de la curva de ensayo con la finalidad de detectar un descenso (estadísticamente significativo) de la carga en correspondencia con un aumento (estadísticamente significativo) de la elongación. Se propone utilizar el siguiente criterio:
Se avanza inspeccionando puntos en orden creciente hasta llegar al punto de orden j (ej, Fj) donde se cumple simultáneamente que:
ej − eM > Δe
FM − Fj > ΔF
(2)
donde FM es la mayor de todas las cargas de orden menor a j y eM es su correspondiente elongación. Los valores de ∆e y ∆F se deben determinar de manera de garantizar en términos estadísticos que se cumplen estrictamente y simultáneamente las desigualdades con un nivel de confianza prefijado.
Δe = ke u(e j − eM )
ΔF = kF u(FM − Fj )
(3)
donde ke y kF son factores de cobertura (multiplicadores de confianza) que dependen del nivel de confianza adoptado para la prueba de las hipótesis simultáneas de la ecuación (2).
Como la varianza de la diferencia de dos variables aleatorias es igual a la suma de las varianzas, la incertidumbre (raíz cuadrada de la varianza) de la diferencia de dos elongaciones resulta:
u(e j − eM ) = 2 uEXT
(4)
donde uEXT es la incertidumbre del extensómetro utilizado en el ensayo. Similarmente se tiene:
u(FM − Fj ) = 2 uCEL
(5)
donde uCEL es la incertidumbre de la celda de carga utilizada en el ensayo. En este trabajo se adoptó un nivel de confianza del 95 % para la prueba de hipótesis de las
dos desigualdades que se deben satisfacer en forma simultánea, en consecuencia:
(1 − pe ) (1 − pF ) = 0,95
(6)
donde pe es la probabilidad de que la desigualad referida a la diferencia de elongaciones se cumpla cuando es falsa y similarmente para pF. Adoptando valores iguales para pe y pF, y reemplazando en la ecuación (6) se obtiene una ecuación de segundo grado que resuelta da:
pe = pF = p → (1 − p) (1 − p) = 0,95 → p = 0,02566
(7)
El valor del factor de cobertura requerido ( ke = kF = k ) se obtiene de la tabla de distribución normal a una sola cola y resulta k = 1,95. En consecuencia las ecuaciones (3) se tornan:
Δe = 1, 95 2 uEXT = 2, 76 uEXT
ΔF = 1, 95 2 uCEL = 2, 76 uCEL
(8)
Cuando se cumplen las dos desigualdades se tiene:
FeH = FM
(9)
A continuación se inspecciona el intervalo que va desde Fj hasta la carga máxima alcanzada en el ensayo (Fm ) para determinar la carga asociada al límite inferior de fluencia:
FeL = menor valor del intervalo ⎣⎡ Fj , Fm ⎦⎤
(10)
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3.2 Límite convencional de fluencia
El límite convencional de fluencia Rp se define como la tensión que corresponde a un alargamiento porcentual permanente especificado (IRAM IAS U 500-102, 1987) y está dado
por la siguiente expresión:
Rp
=
Fp S0
(11)
donde Fp es la carga que corresponde al alargamiento especificado (típicamente 0,2 ó 0,5 %). Dicho alargamiento se mide a partir de la longitud inicial Le del extensómetro utilizado.
F
I II III
Fm
Fp
A B
f
R
m
1
i
e0=α Le
b1 e0
ep
e
b2
Figura 5: Esquema para determinar la carga Fp correspondiente al límite convencional de fluencia Rp
Procedimiento para determinar Fp
La metodología que se presenta a continuación se basa en encontrar un sector de la curva experimental en el entorno de la intersección, donde un ajuste lineal resulta válido. De esta manera, la obtención de Fp se reduce a ajustar dos rectas y calcular su intersección. El procedimiento propuesto sigue los siguientes pasos:
I. Si se dispone de tablas de corrección para el extensómetro y para la celda de carga utilizada, se corrigen los valores de carga y elongación de los registros de ensayo.
II. Se ajusta el tramo lineal de la curva carga versus desplazamiento. Para determinar el sector de la curva que se considera lineal (puntos desde “i” hasta “ f ” en la Figura 5 ), se sigue la metodología propuesta por Gabauer (2000). En lo referente al ajuste propiamente dicho, la práctica habitual es utilizar el método de mínimos cuadrados convencional, sin embargo, dicho método adjudica toda la incertidumbre a una sola de las variables y conduce a errores en el valor de Rp obtenido. Los autores recomiendan utilizar el algoritmo WTLS (Weighted Total Least Squares ) desarrollado recientemente (Krystek y Anton, 2007 ), que considera las incertidumbres en los datos de ordenadas y abscisas.
III. Se traza una segunda recta paralela a la anterior (recta II ), a una distancia horizontal αLe (ver Figura 5 ), donde α usualmente toma los valores de 0,002 ó 0,005. La ordenada al origen de esta recta se obtiene como sigue:
( ) b2 + m1 α Le = b1
b2 = b1 − α m1 Le → FII = b2 + m1 e
(12)
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IV. Cuando el punto de rotura R está debajo de las recta II, se puede calcular la intersección entre la curva experimental y la recta II como se describe a continuación.
Se inspeccionan los puntos experimentales para valores crecientes de elongación hasta encontrar el primer punto debajo de la curva II y se lo denomina punto B = ( eB, FB):
FB < b2 + m1 eB
(13)
Al punto inmediato anterior se lo denomina punto A = ( eA, FA). El punto de intersección de la recta II con la curva experimental se puede encontrar en forma aproximada reemplazando dicha curva por la recta que une los puntos experimentales (aleatorios ) A y B. Para mejorar la
precisión de la recta AB se ajusta una recta de mínimos cuadrados ponderados (WTLS) que incluye varios puntos próximos a izquierda de A y a derecha de B que llamaremos recta III ( F=b 3 + m3 e ). El número de puntos, n, considerados para definir la recta III se elige de modo de tener el mejor ajuste lineal, siendo n ≥ 6 .
Igualando las ecuaciones de las rectas II y III se obtiene el alargamiento “ep” que corresponde a la intersección:
b2 + m1 ep = b3 + m3ep
→
ep
=
b3 − b2 m1− m3
(14)
Finalmente, utilizando ep y el valor b2 dado en (12), se obtiene Fp :
Fp =
m1 b3 − m3 b1 + α m1 m3 Le m1 − m3
(15)
Notar que en la determinación de Fp intervienen 5 parámetros (Le, b1, b3, m1, m3 ).
2.3 Tensión para una deformación total especificada
La tensión que corresponde a una deformación total especificada está dada por la siguiente
expresión:
Rt
=
Ft S0
(16)
donde la carga Ft resulta de la intersección entre la curva de ensayo y una recta vertical que corta el eje de abscisas en la elongación especificada (típicamente 0,5 %).
F Ft
b
m
1
AB
et=α Le
et
e
Figura 6: Esquema para determinar la carga Ft correspondiente al parámetro Rt
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Para el cálculo de Ft se utiliza un razonamiento similar al empleado para la determinación de la fuerza Fp asociada el límite convencional de fluencia. En este caso la metodología resulta caso mas sencilla e involucra los siguientes pasos:
I. Si se dispone de tablas de corrección para el extensómetro y la celda de carga utilizados, se corrigen los valores de carga y elongación de la curva de ensayo.
II. Si et = α Le, es la elongación total especificada, se buscan dos puntos experimentales A = ( eA, FA) y B = ( eB, FB), tales que eB > et y eA < et (ver Figura 6). La intersección entre la curva experimental y la recta vertical que corta al eje de abscisas en et, puede hallarse en forma aproximada interpolando linealmente entre los puntos A y B, para e = et. Para mejorar esta aproximación, se ajusta una recta de mínimos cuadrados ponderados (WTLS) de parámetros b y m que incluye varios puntos próximos a izquierda de A y a derecha de B, por lo tanto,
Ft = b + m et = b + mα Le
(17)
y en consecuencia en la determinación de Ft intervienen solo 3 parámetros: Le , b y m.
3. EVALUACIÓN DE INCERTIDUMBRES
Al final del trabajo se encuentran los apéndices A y B donde se listan los conceptos que se consideran más relevantes en cuanto a la determinación de las incertidumbres de medición. Haciendo uso de esos conceptos, se describe en esta sección la evaluación de las incertidumbres asociadas a los parámetros ReH, ReL, Rp y Rt. Para cada uno de estos parámetros, se identifican y evalúan las diferentes fuentes de incertidumbre que permiten obtener la incertidumbre estándar combinada correspondiente.
Los parámetros ReH, ReL, Rp y Rt son tensiones referidas a la sección inicial de la probeta S0 y por lo tanto se calculan mediante la siguiente expresión:
σi
=
Fi S0
(18)
donde σi es una tensión genérica (que puede ser Rp, Rt, ReH o ReL) y Fi es la carga que corresponde a dicha tensión. Se consideran por lo tanto, fuentes de incertidumbre asociadas a la medición de la carga y fuentes de incertidumbre relacionadas con la determinación del área de la sección trasversal de la probeta.
Para el cálculo de la incertidumbre estándar combinada uc(σi ), se aplica la ecuación (36) del Apéndice A, teniendo en cuenta que en este caso las variables Fi y S0 no se encuentran correlacionadas:
uc (σi ) =
⎡ ∂σi ⎢⎣ ∂F
u(
Fi
)
⎤ ⎦⎥
2
+
⎡ ⎢ ⎣
∂σ i ∂S0
u (S0 )⎤⎥ 2
⎦
=
⎡1
⎢ ⎣
S0
u
(
Fi
)
⎤ ⎥
2
⎦
+
⎡ ⎢ ⎣
− Fi S02
u (S0 )⎤⎥ 2
⎦
(19)
donde u(Fi) y u(S0) son las incertidumbres estándar de las mediciones de Fi y S0.
En lo referente a los grados de libertad de uc(σi ), se utiliza la fórmula de Welch-Satterthwaite [ecuación (39) del Apéndice A]:
υσi
=
⎡ ∂σi ⎢⎣ ∂F
u ( Fi )⎤⎥⎦ 4
⎣⎡uc (σi )⎤⎦ 4
υ Fi
+
⎡ ⎢ ⎣
∂σ i ∂S0
u (S0 )⎥⎤ 4
⎦
υ S0
(20)
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A continuación se presentan procedimientos para evaluar las incertidumbres que corresponden a S0 y a las cargas FeH, FeL, Fp y Ft asociadas a los parámetros ReH, ReL, Rp y Rt respectivamente. También se indican en cada caso, los grados de libertad efectivos que permiten determinar el factor de cobertura requerido para un nivel de confianza dado.
3.1 Incertidumbre en la medición de la sección transversal de la probeta
El proceso de medición del área de la sección transversal de una probeta, implica medir ciertas dimensiones de la misma utilizando un instrumento de medición apropiado y en base a estas medidas, efectuar el cálculo del área. Existen fuentes de incertidumbre de carácter aleatorio asociadas a la medición de los parámetros de la probeta y componentes sistemáticas provenientes de la calibración de los instrumentos utilizados. En general el cálculo del área y su correspondiente incertidumbre implica:
I. Encontrar la relación matemática que vincula las cantidades de entrada estimadas y el
área S0 (mensurando ) :
S0 = f (x1 , x2 ,..., xm )
(21)
Por ejemplo, si trata del área de una sección rectangular, las cantidades de entrada estimadas son: el ancho de la sección b y el espesor t. La relación funcional que vincula las variables de entrada con el mensurando es: S0 = b t.
II. Obtener los coeficientes de sensibilidad asociados a cada variable de entrada a partir de
la expresión (21):
cx1
=
∂S0 ∂x1
,
cx2
=
∂S0 ∂x2
,
…
,
cxm
=
∂S0 ∂xm
(22)
III. Calcular estimadores de las cantidades de entrada, computar el área según la expresión (21) y obtener la incertidumbre estándar combinada de la medición:
uS0 = ⎡⎣cx1 u(x1 )⎤⎦ 2 + + ⎡⎣cxm u(xm )⎦⎤ 2
(23)
donde los valores u(xi) son las incertidumbres asociadas a las cantidades de entrada estimadas. La estimación de dichos valores y sus correspondientes incertidumbres, implica:
a. Efectuar n mediciones de cada una de las m cantidades xi (con n ≥ 3), luego calcular el valor medio de xi y su desviación estándar s (Maiztegui, 2000):
∑ xi
=1 n
n
xi k
k =1
∑( ) ( ) s xi =
1n n −1 k =1
xik − xi
2
(24)
b. Calcular la desviación estándar del promedio,
( ) s xi
= t s ( xi )
n
(25)
utilizando el factor t de Student que corresponde a un nivel de confianza de 68.27%.
c. En base al certificado de calibración del instrumento utilizado para medir la cantidad de entrada xi, obtener la incertidumbre estándar de calibración del instrumento:
uCAL
=
U CAL k
(26)
donde UCAL es la incertidumbre expandida resultante de la calibración y k es el factor de cobertura utilizado.
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Luego, expresar el error de indicación del instrumento de medición como una incertidumbre estándar, asumiendo una distribución de probabilidad uniforme:
uIND =
eIND 3
(27)
d. Calcular la incertidumbre combinada en la medición de xi:
( ) ( ) ( ) ( ) uc xi = s xi + uCAL 2 + uIND 2
(28)
e. Calcular los grados de libertad efectivos en la medición de xi (ecuación (39) del
Apéndice A):
{ } υxi = ⎣⎡uc ( xi )⎦⎤ 4
⎣⎡s( xi ) ⎦⎤ 4 (n − 1)
(29)
IV. Calcular los grados de libertad efectivos de la medición del área usando la expresión ecuación (39) del Apéndice A:
( ) υS0
=
⎡⎣cx1u( x1)⎤⎦ 4
⎣⎡u So ⎦⎤ 4 υx1 + ⎡⎣cx2 u( x2 )⎤⎦ 4 υx2 +
+ ⎣⎡cxm u( xm )⎦⎤ 4 υxm
(30)
3.2 Incertidumbre estándar en la medición de las cargas FeH y FeL
Las fuerzas FeH y FeL son medidas en forma directa mediante una celda de carga. La incertidumbre expandida en la medición de fuerzas está tabulada para distintos rangos de fuerzas, en el certificado de calibración de la celda de carga utilizada en el ensayo. Por lo tanto la incertidumbre estándar resulta:
uCEL
=
U CEL kCEL
υCEL = ∞
(31)
donde UCEL es la incertidumbre expandida de calibración de la celda de carga y kCEL es el factor de cobertura utilizado en el informe de calibración.
3.3 Incertidumbre combinada en la medición de la carga Fp
Una metodología para evaluar la incertidumbre en la medición de Fp, puede encontrarse en el trabajo de Gabauer (2000). Dicho procedimiento ignora la correlación entre la pendiente y la ordenada al origen de la recta que describe la parte lineal de la curva de ensayo y además no tiene en cuenta la incertidumbre asociada al ajuste de la curva en las proximidades de la carga de fluencia Fp. La forma de cálculo que se presenta a continuación contempla ambos aspectos.
La carga Fp que corresponde al límite convencional de fluencia Rp, es una función de cinco variables aleatorias [ecuación (15)]. Se consideran como fuentes de incertidumbre, las asociadas a: (1) la determinación de los parámetros de la recta que ajusta la parte lineal de curva del ensayo (recta I ), (2) la longitud inicial del extensómetro (Le), (3) los parámetros de la recta que ajusta la tangente a la curva experimental (recta III ) y (4) la calibración de los instrumentos utilizados.
Existen fuentes de incertidumbre que dependen del material a ensayar, pero no son tenidas en cuenta en este trabajo. Estimar dichas contribuciones requiere un conocimiento previo de la respuesta del material a la velocidad de deformación utilizada en el ensayo, lo que usualmente
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no es posible. En relación a la influencia de la temperatura, su efecto puede despreciarse para ensayos realizados a temperatura ambiente (EN 10002-1, 2001).
Para el cálculo de la incertidumbre estándar combinada de Fp, se utiliza la ecuación (36) del Apéndice A y los grados de libertad efectivos se aproximan mediante la ecuación (41) del mismo apéndice. Se tienen en cuenta en este caso, la correlación entre la pendiente y la ordenada al origen de la recta I a través de la covarianza u(b1, m1) y la correlación en la recta III mediante la covarianza u(b3, m3).
La incertidumbre de Fp resulta:
u (Fp ) =
⎡⎣cb1u (b1 )⎦⎤ 2 + ⎡⎣cm1u(m1 )⎤⎦ 2 + ⎣⎡cb3u(b3 )⎤⎦ 2 + ⎣⎡cm3u(m3 )⎤⎦ 2 + [ ] ( ) ( ) ( ) + ⎣⎡cLeu Le ⎤⎦ 2 + 2cb1cm1u b1, m1 + 2cb3cm3u b3, m3 + uCEL 2
(32)
donde el último término de ésta ecuación tiene en cuenta la incertidumbre de calibración de la celda de carga definido en la ecuación (31).
A continuación se estiman cada una de la incertidumbres parciales indicadas en (32) indicando también los grados de libertad correspondientes.
Incertidumbre estándar de los coeficientes de las rectas de regresión
Los parámetros de las rectas II y III se calculan mediante el algoritmo WTLS, propuesto por Krystek y Antón, (2007). Siguiendo dicho trabajo se calculan las varianzas y las covariazas de los parámetros de ambos ajustes.
Si nII y nIII son las cantidades de puntos experimentales utilizados para los ajustes de las rectas II y III, los grados de libertad asociados a los parámetros de dichas rectas son (nII −2 ) y (nIII −2 ) respectivamente.
Incertidumbre estándar de la longitud inicial del extensómetro
La incertidumbre de la longitud inicial del extensómetro u(Le) puede estimarse asumiendo que la distribución de las mediciones de la longitud es normal y que el 95,45 % de las mismas se encuentra dentro de un intervalo igual al 1 % de Le ( ± 2 desviaciones estándar de la media ):
u ( Le ) = (0, 001 Le ) / 4 υLe = ∞
(33)
3.3 Incertidumbre combinada en la medición de la carga Ft
La carga que Ft está dada por la ecuación (17), por lo tanto Ft es función de los parámetros b y m de la recta de ajuste y de la longitud Le del extensómetro. Al igual que en el caso de la fuerza Fp, se utiliza la ecuación (36) del Apéndice A para determinar la incertidumbre estándar combinada y la ecuación (41) del mismo apéndice para obtener una aproximación de los grados de libertad efectivos.
La incertidumbre de Ft resulta:
u ( Ft ) = ⎣⎡cb u(b)⎦⎤ 2 + ⎡⎣cm u(m)⎤⎦ 2 + ⎣⎡cLe u( Le )⎦⎤ 2 + 2 cb cm u(b, m) + [uCEL ]2
(34)
La evaluación de las diferentes incertidumbres individuales indicadas en (34) es análoga al caso de la carga Fp presentado en la sección 3.2.
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4. HERRAMIENTA COMPUTACIONAL
En esta sección se describen las características principales del programa INcerTI, desarrollado en el ambiente programación Matlab®, para el cálculo de los parámetros de un ensayo de tracción y sus incertidumbres asociadas. Se trata de una aplicación autónoma creada para la plataforma Windows® que no precisa de la ejecución de Matlab® para su funcionamiento. Se maneja a través de una interfaz gráfica, como se puede apreciar en la Figura 7.
Figura 7: Pantalla principal de la interfaz gráfica del programa INcerTI
Con este software es posible calcular los siguientes parámetros del ensayo: (1) la resistencia a la tracción, (2) los puntos de fluencia superior e inferior (si existieran), (3) la tensión para una deformación total especificada, (4) el alargamiento porcentual de la probeta, (5) la reducción de área porcentual (estricción), (6) la energía de deformación por unidad de volumen y (7) el exponente n de endurecimiento por deformación.
Abrir
Ejes
Otros parámetros
Resultados
Nº de Probeta
Tipo
Figura 8: Menús emergentes del programa INcerTI
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La estimación de incertidumbres efectuada mediante esta herramienta, se realiza en base a un nivel de confianza del 95,45 %. En lo referente a las unidades utilizadas, se usa el milímetro para las longitudes, el kilo-Newton (kN) para las cargas y el Mega Pascal (MPa) para las tensiones.
4.1 Carga de datos
El programa tiene la capacidad de leer archivos de formato ASCII, específicos de la máquina Instron® 4486 que utiliza el laboratorio de ensayos mecánicos de INTI Córdoba. Estos archivos pueden contener los registros carga-elongación de un único ensayo o bien de un lote de probetas. También es posible reanalizar los datos de un ensayo realizado con otro equipamiento (ver el Menú “Abrir” en la Figura 8 ). Para ello, el usuario debe confeccionar un archivo Excel® o ASCII que posea dos columnas con los registros del ensayo.
Una vez cargado el archivo a analizar, se grafica en la pantalla principal la curva carga versus elongación resultante. El gráfico puede examinarse en detalle mediante las funciones “Zoom”, “Pan” y “Límites” de la barra de herramientas “Gráfico”, que se encuentra en la parte inferior de la pantalla (ver Figura 7 ). También puede cambiarse la configuración de los ejes mediante el menú “Ejes” (ver Figura 8). Estas herramientas permiten al operador ampliar ciertas zonas, detectar posibles anomalías del ensayo e interpretar los resultados correctamente.
4.2 Área de la sección transversal
Se consideran probetas maquinadas del tipo circular, anular, rectangular y probetas obtenidas de tubos. También se pueden analizar tubos y hierros de construcción sin maquinar. El usuario debe entrar el tipo de probeta ensayada a través de un menú emergente (ver el menú “Tipo” en la Figura 8).
Seleccionando, por ejemplo, una sección del tipo circular, al presionar el botón “Área” en la pantalla principal (ver Figura 7) se abre la ventana 1 (ver Figura 3) donde el operador ingresa el número de mediciones efectuadas. Al presionar el botón “ OK” se abre la ventana 2 para ingresar los valores de las mediciones realizadas. Finalmente en la ventana 3, se introducen los datos de calibración del instrumento de medición utilizado. Los resultados del cálculo, que incluyen el valor del área de la sección transversal de la probeta, la incertidumbre expandida de la medición y su factor de cobertura, se escriben en la parte superior derecha de la pantalla principal del programa (ver Figura 7).
Ventana 1
Ventana 2
Ventana 3
Figura 9: Ingreso de datos del área de la sección de la probeta y del instrumento utilizado
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4.3 Cálculo del límite convencional de fluencia Rp
Para determinar el límite convencional de fluencia Rp se presiona el botón “Calcular” del panel “Tensión de fluencia” que se habilita una vez calculada el área de la sección transversal de la probeta. Luego, el operador ingresa en una pantalla el valor de Le y un porcentaje de dicha longitud, usualmente de 0,2 ó 0,5 % para los valores típicos de Rp0,2 y Rp0,5 (ASTM E8-04, 2004). Acto seguido, mediante ventanas de búsqueda, el usuario selecciona los archivos que contienen los datos de calibración del extensómetro y de la celda de carga utilizada en el ensayo.
Los resultados, que corresponden al valor del límite convencional de fluencia, su incertidumbre expandida y el factor de cobertura, se escriben en los cuadros de texto de la ventana principal. También se muestra sobre la curva del ensayo, la recta que ajusta la parte proporcional del gráfico (recta I ), la paralela correspondiente (recta II ) y su intersección con la zona no lineal.
Si se analiza una curva como la que se muestra en la Figura 7, donde se presenta el fenómeno de fluencia discontinua, el software detecta en forma automática los puntos de fluencia superior e inferior. Estos resultados adicionales se indican en otra pantalla, como se aprecia en la Figura 10. Notar que la diferencia entre los valores de ReL y Rp0,2 supera el resultado de la incertidumbre.
Figura 10: Curva de ensayo donde se presenta fluencia discontinua
En las Figuras 11 y 12 se muestran los resultados del cálculo de Rp0,2 para dos curvas de ensayo que presentan distinto grado de dispersión. En ambas figuras, se superpusieron ampliaciones de la región que corresponde a la intersección.
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Figura 11: Curva típica de un caso donde hay poca dispersión
Figura 12: Curva correspondiente a un caso con dispersión considerable
En el caso de la Figura 11 el resultado de la medición es Rp0,2 = 479,8 ± 3,1 MPa, por lo tanto la incertidumbre representa el 0,65 % de la tensión calculada. En cambio en la curva de la Figura 12, donde se observa una mayor dispersión en los puntos experimentales, la incertidumbre constituye el 1,6 % del resultado de la medición (Rp0,2 = 1320,0 ± 21,0 MPa ).
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Desde la implementación de este software, los autores han notado que la incertidumbre estimada para este parámetro fluctúa entre el 0,4 y el 2 % del resultado de la medición. Esto muestra que el valor dado en (EN 10002-1, 2001 ) es muy conservador en la mayoría de los casos, ya que propone utilizar siempre un valor igual a 2,3 % del límite convencional de fluencia.
4.4 Cálculo de la tensión para una deformación total especifica Rt
Para calcular el parámetro Rt, se accede al menú “Otros parámetros” y se selecciona la opción “Tensión para una deformación total especificada ”. La secuencia de ingreso de datos es similar al caso del límite convencional de fluencia Rp. En el gráfico de la Figura 13 se muestra el resultado del cálculo de Rt0,5 para una curva de ensayo típica.
Figura 13: Curva de ensayo típica donde se muestra el cálculo del parámetro Rt
5. CONCLUSIONES En este trabajo se describieron los diferentes parámetros que permiten caracterizar la fluencia
de un material. Se presentaron procedimientos numéricos para el cálculo de dichos parámetros y para la evaluación de sus incertidumbres. Para la evaluación de las incertidumbres, se tuvieron en cuenta las correlaciones entre las diferentes variables involucradas, siguiendo los lineamientos generales de la GUM.
Se presentó una herramienta computacional que permite analizar los registros experimentales de un ensayo, obtener los parámetros característicos y evaluar sus incertidumbres. La programación se realizó en el ambiente de programación Matlab®, debido a la gran cantidad de herramientas disponibles y su facilidad de uso. La herramienta presentada, se utiliza actualmente en el Laboratorio de Ensayos Mecánicos del INTI Córdoba. Los autores no conocen otros laboratorios en Argentina donde se hayan incorporado desarrollos similares.
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6. APÉNDICE A TERMINOLOGÍA REFERIDA A LAS INCERTIDUMBRES DE MEDICIÓN
En este apéndice se exponen en orden alfabético algunos conceptos y definiciones importantes. Para profundizar dichos conceptos se recomienda recurrir a la GUM.
Incertidumbre
Parámetro asociado al resultado de una medición que caracteriza la dispersión de valores que pueden atribuirse en forma razonable al mensurando. La GUM agrupa a las fuentes de incertidumbres en dos categorías, A y B según el método de evaluación empleado.
Incertidumbre tipo A Se denomina incertidumbre del tipo A, a la fuente de incertidumbre que se evalúa por medios
estadísticos. La evaluación de este tipo de incertidumbre permite valorar la repetibilidad o aleatoriedad del proceso de medición.
Es posible que en algunos casos, la componente aleatoria de la incertidumbre no sea significativa en relación a otras contribuciones, sin embargo, siempre es aconsejable establecer la importancia relativa de los efectos aleatorios en el proceso de medición.
Incertidumbre tipo B
Se denomina incertidumbre del tipo B, a la incertidumbre que se evalúa por otros medios que no son estadísticos. Las componentes sistemáticas de la incertidumbre, es decir, aquellas que representan errores que permanecen constantes durante el proceso de medición, pueden evaluarse como incertidumbres del tipo B. En ese caso, las incertidumbres asociadas a la calibración de los instrumentos de medición empleados, representan las contribuciones más importantes.
Incertidumbre estándar Se denomina incertidumbre estándar a la incertidumbre del resultado de una medición
expresada como una desviación estándar.
Incertidumbre estándar combinada
Es la incertidumbre estándar del resultado de una medición cuando dicho resultado es obtenido a partir de los valores medidos de otras magnitudes.
En el caso de un mensurando f , función de variables de entrada x1, x2, ..., xn, medidas con incertidumbres estándar u(x1), u(x2), ..., u(xn):
f = fun ( x1, x2,… xn )
(35)
se puede demostrar que la desviación estándar del mensurando f, es función de las dispersiones u(xi) y las covarianzas u(xi, xj), a través de la siguiente expresión (Kline, 1953; Coleman, 1999 ):
∑ ∑ ( ) uc( f ) =
⎡ ∂f
⎢ ⎣
∂x1
u ( x1 )⎥⎤ 2
⎦
+
⎡ ∂f
⎢ ⎣
∂x2
u ( x2 )⎥⎤ 2
⎦
+
( ) +
⎡ ∂f
⎢ ⎣
∂xn
u
xn
⎤2
n −1
⎥ +2
⎦
i =1
n ∂f j=i+1 ∂xi
∂f u
∂x j
xi , x j
(36)
donde las derivadas parciales se denominan coeficientes de sensibilidad, ci = ∂f /∂xi.
La ecuación (36) está basada en una aproximación en serie de Taylor de primer orden de la ecuación (35) y expresa lo que se denomina como la “ley de propagación de incertidumbres”. Notar que la expresión (36) se simplifica cuando las variables de entrada no se encuentran correlacionadas, ya que en este caso las covarianzas u(xi, xj) son nulas.
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Es importante mencionar que pueden existir otras fuentes de incertidumbre que no aparecen explícitamente en la relación funcional (35). En ese caso, la incertidumbre combinada puede expresarse en una forma más general de la siguiente manera:
∑ ∑ ∑ ( ) ∑ uc( f ) =
( ) ( ) n
⎣⎡ci u
xi
⎦⎤ 2
+
n −1
2
n
ci c j u xi , x j
m
+
uk 2
i =1
i=1 j=i+1
k =1
(37)
donde los valores uk son las incertidumbres estándar asociadas a las fuentes no incluidas en la expresión (35).
Incertidumbre expandida
Es la que resulta de multiplicar la incertidumbre estándar por un factor de cobertura k:
U = k uc ( f )
(38)
Factor de cobertura
Es un número que multiplicado por la incertidumbre estándar combinada, produce un intervalo (incertidumbre expandida) alrededor del resultado de la medición que se espera abarque un porcentaje especificado (i.e. 95 %) de la distribución de valores que pueden atribuirse al mensurando. El cálculo del factor de cobertura se realiza en base a un nivel de confianza dado y a los grados de libertad que corresponden a la incertidumbre estándar combinada, asumiendo una distribución de probabilidad de Student.
Grados de libertad efectivos
En general, el número de grados de libertad de un estimador es igual al número de mediciones realizadas menos el número de parámetros determinados a partir de ellas. Es una propiedad de una suma de cuadrados y se determina por el número de comparaciones lineales independientes que se pueden hacer entre las observaciones (Walpole et al., 1999; Montgomery and Runges, 1996). Debido a que la incertidumbre estándar combinada puede estar compuesta por diferentes fuentes de incertidumbre, generalmente no se conocen los grados de libertad efectivos de la combinación. Sin embargo, según el Método de Welch-Satterthwaite (Welch, 1937; Satterthwaite, 1946), los grados de libertad efectivos pueden aproximarse mediante la siguiente fórmula:
υf
=
⎣⎡uc ( f )⎤⎦ 4 ⎣⎡c1 u ( x1 )⎤⎦ 4 υx1 + ⎣⎡c2 u ( x2 )⎦⎤ 4 υx2 +
+ ⎣⎡cn u ( xn )⎦⎤ 4 υxn
(39)
donde υx1 , υx2 …, υxn son los grados de libertad de cada una de las contribuciones.
Es importante mencionar que la expresión (39) es válida para el caso en que los argumentos de entrada no están correlacionados y además el número de grados de de libertad de cada una de las contribuciones individuales es como mínimo dos.
Para argumentos correlaciones puede utilizarse una generalización de la expresión de Welch-Satterthwaite propuesta recientemente por Willink (2007):
∑ ∑ ( ) ( ) / / υef = ⎡⎣uc
f ⎦⎤ 4
⎛ ⎝⎜
i=n ⎡ i=1 ⎣
c j=n
j=1 i
cj
u
xi , x j
⎤2 ⎦
υi
⎞ ⎠⎟
(40)
En este trabajo, los autores proponen la ecuación (41) que es una variante de la fórmula de la mediana de Lepek (2003) donde se reemplazó el término central por la expresión (40):
∑ ∑ ( ) ∑ υef
=
mediana
⎧ ⎨
⎩
menor{υi} ,
⎡⎣uc
(
f
)⎦⎤ 4
/
⎛ ⎜⎝
i=n ⎡ i=1 ⎣
/ c j=n
j=1 i
cj
u
xi , x j
⎤2 ⎦
υi
⎞ ⎟⎠
,
n
υi
i=1
⎫ ⎬ ⎭
(41)
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donde la función mediana asegura que el valor calculado no resulta menor que la menor de las contribuciones individuales ni tampoco mayor a la suma de ellas.
Mensurando Cantidad específica sujeta a medición
Nivel de confianza Probabilidad que el valor del mensurando se encuentre dentro de un intervalo especificado.
7. APÉNDICE B: PROCEDIMIENTO PAR EVALUACIÓN DE INCERTIDUMBRES
El siguiente procedimiento para el cálculo de incertidumbres en las mediciones está basado en la guía GUM.
La estimación de la incertidumbre asociada a la medición de una cantidad Y involucra los siguientes pasos:
I. Encontrar la relación matemática que vincula las cantidades de entrada estimadas (x1, x2,… xn) y el mensurando Y:
Y = f (x1, x2 , xn )
(42)
II. De la expresión (42) obtener los coeficientes de sensibilidad asociados a cada variable de entrada:
cx1
=
∂Y ∂x1
,
cx2
=
∂Y ∂x2
,
…
,
cxn
=
∂Y ∂xn
(43)
III. Identificar todas las posibles fuentes de incertidumbre. Cada una de las variables de entrada pueden tener incertidumbres asociadas y además pueden existir otras fuentes de incertidumbre que no aparecen explícitamente en la expresión (42).
IV. Medir o estimar cada variable de entrada xi y luego:
i. Evaluar la incertidumbre combinada asociada a la medición de xi.teniendo en cuenta incertidumbres del tipo A, del tipo B o ambas. Deben combinarse como indica la ecuación (37).
ii. Calcular los grados de libertad efectivos de la medición de xi , según (39) ó (41).
V. Evaluar las fuentes de incertidumbre que no aparecen explícitamente en la ecuación de cálculo (42).
VI. Obtener la incertidumbre estándar combinada de la medición de Y, aplicando la expresión (37).
VII. Calcular los grados de libertad efectivos en la medición de Y (ecuación (39) ó (41)).
VIII. Con los grados de libertad efectivos y un nivel de confianza dado, obtener el factor de cobertura de una tabla de t de Student de dos colas.
IX. Calcular la el valor del mensurando de acuerdo con la expresión (42) y expresar el resultado de la medición cómo sigue:
V =Y ±U
(44)
donde V es el valor estimado del mensurando y U es la incertidumbre expandida asociada a Y.
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