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Primer Director Técnico († 1980): Ing. Luis María Machado Directora Técnica: Inga. Marta S. Parmigiani
Coordinadora Área Acciones: Inga. Alicia M. Aragno Área Estructuras de Hormigón: Ing. Daniel A. Ortega Área Administración, Finanzas y Promoción: Mónica B. Krotz Área Venta de Publicaciones: Néstor D. Corti
© 1996 Editado por INTI INSTITUTO NACIONAL DE TECNOLOGÍA INDUSTRIAL Av. Leandro N. Alem 1067 – 7° piso – Buenos Aires. Tel. 4515-5000 Queda hecho el depósito que fija la ley 11.723. Todos los derechos, reservados. Prohibida la reproducción parcial o total sin autorización escrita del editor. Impreso en la Argentina. Printed in Argentina.
ORGANISMOS PROMOTORES
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MIEMBRO ADHERENTE
Consejo Interprovincial de Ministros de Obras Públicas
ASESORES QUE INTERVINIERON EN LA REDACCIÓN DEL REGLAMENTO CIRSOC 106
Coordinador: Ing. Hilario Fernández Long
Asesor:
Ing. Arturo J. Bignoli
I
– INDICE –
CAPÍTULO 1 GENERALIDADES
1
1.1.
INTRODUCCIÓN
1
1.2.
CAMPO DE VALIDEZ
1
CAPÍTULO 2 DEFINICIONES
3
2.1.
COEFICIENTE DE SEGURIDAD
3
2.1.1.
Coeficiente de seguridad central
3
2.1.2.
Coeficiente de seguridad característico
3
2.1.3.
Coeficiente de seguridad de cálculo
4
2.2.
ÍNDICE DE SEGURIDAD
5
CAPÍTULO 3 DETERMINACIÓN DEL ÍNDICE DE SEGURIDAD Y DE LA
PROBABILIDAD DE FALLA
7
3.1.
ÍNDICE DE SEGURIDAD β
7
3.2.
PROBABILIDAD DE FALLA Pf
7
CAPÍTULO 4 VALORES DE LOS COEFICIENTES DE VARIACIÓN DE “R” Y “S” 9
4.1.
ADOPCIÓN DE LOS VALORES DE δR y δS
9
4.2.
CONFIRMACIÓN DE LOS VALORES ADOPTADOS
9
CAPÍTULO 5 CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE SEGURIDAD
13
5.1.
INTRODUCCIÓN
13
5.2.
VALORES MÍNIMOS DE γ
14
5.3.
VALORES MÁXIMOS DE γ
14
5.4.
CONFIRMACIÓN DE LOS VALORES ADOPTADOS
15
5.5.
VARIANTE AL CÁLCULO DE γ
15
COMENTARIOS
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Reglamento CIRSOC 106 y sus Comentarios
Edición Julio 1982
II
Dimensionamiento del Coeficiente de Seguridad
Edición Julio 1982
1
CAPITULO 1. GENERALIDADES
1.1. INTRODUCCION
El coeficiente de seguridad que se utilice para el proyecto de una estructura debe ser función de la confiabilidad que se requiera de ésta y depende del cuidado y de la precisión con que se realicen tanto el proyecto como la construcción, así como del conocimiento que se tenga de las acciones que la solicitarán. No pudiendo establecerse "a priori" y en forma general un valor del coeficiente de seguridad, éste deberá ser calculado por el proyectista de acuerdo con esta Recomendación, antes de comenzar el proyecto de la estructura.
1.2. CAMPO DE VALIDEZ
Esta Recomendación se podrá aplicar en el proyecto de estructuras resistentes, de cualquier material en los que se considere necesario una mejor evaluación del coeficiente de seguridad.
Reglamento CIRSOC 106 y sus Comentarios
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2
Dimensionamiento del Coeficiente de Seguridad
Edición Julio 1982
3
CAPITULO 2. DEFINICIONES
2.1. COEFICIENTE DE SEGURIDAD
Se llamará coeficiente de seguridad a alguno de los valores indicados en los artículos 2.1.1. a 2.1.3.
2.1.1. Coeficiente de seguridad central
El coeficiente de seguridad central se obtiene mediante la siguiente expresión:
siendo:
γ0
=
R S
γ0 el coeficiente de seguridad central;
R el valor medio de la resistencia de una sección o de un elemento estructural;
S el valor medio de la solicitación de la misma sección o del mismo elemento estructural.
También podrán ser R y S los valores medios de las tensiones última y actual, respectivamente, calculadas en una sección.
2.1.2. Coeficiente de seguridad característico
El coeficiente de seguridad característico se obtiene mediante la siguiente expresión:
siendo:
γK
=
RK SK
γK
el coeficiente de seguridad característico;
RK y SK los valores característicos de la resistencia y de la solicitación respectivamente, de una sección o de un elemento estructural, dados por:
( ) RK ≅ R · e − 1,645 δR ≅ R 1 − kR · δ R
y
( ) SK ≅ S · e1,645 δS ≅ S 1 + kS · δ S
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4
con:
R y S los valores medios de la resistencia y de la solicitación, respectivamente, de una sección o de un elemento estructural;
kR y kS los coeficientes, que tomando los valores característicos RK y SK al percentil 5% valen kR = kS = 1,65;
δR y δS los coeficientes de variación de R y S obtenidos:
a) estadísticamente con
δR
=
σR R
y
δS
=
σS S
,
siendo
σR
y σS
los
desvíos típicos de R y S;
b) de la Tabla 3 (Capítulo 4) para las condiciones propias del proyecto y construcción que correspondan.
por lo tanto:
γK
≅
γ0
· e − 1,645 (δR + δS )
≅
γ0
1 − kR 1 + kS
·δR · δS
2.1.3. Coeficiente de seguridad de cálculo El coeficiente de seguridad de cálculo se obtiene mediante la siguiente expresión:
siendo: γ∗
γ ∗ = R∗ S∗
el coeficiente de seguridad de cálculo;
R ∗ y S ∗ los valores de cálculo de la resistencia y de la solicitación respectivamente, de una sección o de un elemento estructural, dados por:
R ∗ = RK γm
y S ∗ = γ S · SK
Dimensionamiento del Coeficiente de Seguridad
Edición Julio 1982
5
y por lo tanto:
con:
RK y SK los valores característicos de la resistencia y de la solicitación, respectivamente, de una sección o de un elemento estructural;
γm y γS
los factores de minoración R y de mayoración de S, respectivamente, que pueden deducirse de lo indicado en cada Reglamento particular.
γ∗
=
γK γm ·γS
≅
γ0 γm ·γS
· e − 1,645 (δR + δS ) ≅ γ 0
· 1 − kR 1 + kS
·δR · δS
·1 γm ·γS
2.2. INDICE DE SEGURIDAD
Se llamará índice de seguridad β al valor
β = ln γ0 δR2 + δS2
siendo:
β
el índice de seguridad;
γ0
el coeficiente de seguridad central;
δR y δS los coeficientes de variación de R y S.
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Dimensionamiento del Coeficiente de Seguridad
Edición Julio 1982
7
CAPITULO 3. DETERMINACION DEL INDICE DE SEGURIDAD Y DE LA PROBABILIDAD DE FALLA
3.1. INDICE DE SEGURIDAD β
Se obtendrán los valores del índice de seguridad β de la Tabla 1 según la importancia de los daños a personas y cosas.
3.2. PROBABILIDAD DE FALLA Pf El valor de la probabilidad de falla "tolerable" Pf tendrá una cota superior en:
Pf
≤ 10 − 5 n
·T
siendo:
T la vida útil de la estructura (según Tabla 2 en función del tipo de estructura);
n la cantidad media de personas en peligro; 10-5 la probabilidad de daño tolerada por persona y por año.
Si la Pf así calculada fuese inferior a la de la Tabla 1 correspondiente al β elegido, se obtendrá con ella un nuevo β mayor, utilizando una tabla de probabilidades normales, adoptándose este último.
Para el cálculo de β también podrá usarse la expresión aproximada:
de donde:
Pf ≅ 460 e − 4,3 β β = 2,663 − log Pf
1,867
Si Pf = a · 10 − b
β = b + 2,663 − log a 1,867
siendo: Pf la probabilidad de falla tolerable;
β el índice de seguridad.
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8 Tabla 1. Valores del índice de seguridad β y de la probabilidad de falla Pf .
* ver Recomendación CIRSOC 105–1982 "Superposición de acciones (Combinación de estados de cargas)".
Tabla 2. Valores de T.
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CAPITULO 4. VALORES DE LOS COEFICIENTES DE VARIACION DE "R" Y "S"
4.1. ADOPCION DE LOS VALORES DE δR Y δS
Los valores de δR y δS , según las características supuestas por el proyectista para la obra y adoptadas para el proyecto, se obtendrán con las expresiones siguientes:
δR2 = δM2 + δE2 + δD2
y
δS2
=
δC2
+
δ
2 A
siendo:
δR y δS los coeficientes de variación de R y S, respectivamente;
δM
el coeficiente que depende de las condiciones propias del material;
δE
el coeficiente que depende de las condiciones de la ejecución de la
estructura;
δD
el coeficiente que depende de los modelos empleados en el cálculo
de la resistencia;
δC
el coeficiente que depende de las particularidades de las cargas;
δA
el coeficiente que depende de los modelos empleados en el cálculo
de las solicitaciones (análisis estructural).
Los valores de δM , δE , δD , δC y δA se indican en la Tabla 3 para estructuras de Hormigón Armado y Pretensado, Tabla 4 para Acero normal, Tabla 5 para Acero liviano y Tabla 6 para Madera y Mampostería.
4.2. CONFIRMACION DE LOS VALORES ADOPTADOS
Si al ejecutar la obra el constructor previera o proyectara condiciones de ejecución diferentes a las supuestas por el proyectista, deberá calcular los nuevos valores de δR y δS , en función de los coeficientes δM , δE , δD , δC y δA que realmente corresponden al caso, con el fin de determinar el nuevo coeficiente de seguridad con el que deberá volver a dimensionar la estructura (ver artículo 5.4.).
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Tabla 3.
Valores de los coeficientes δM , δE , δD , δC y δA para estructuras de Hormigón Armado y Pretensado.
Tabla 4. Valores de los coeficientes δM , δE , δD , δC y δA para estructuras de acero normal.
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Tabla 5.
Valores de los coeficientes δM , δE , δD , δC y δA para estructuras de acero liviano.
Tabla 6.
Valores de los coeficientes δM , δE , δD , δC y δA para estructuras de madera y mampostería.
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Dimensionamiento del Coeficiente de Seguridad
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CAPITULO 5. CALCULO DEL COEFICIENTE DE SEGURIDAD
5.1. INTRODUCCION
Con los valores de β , δR y δS determinados de acuerdo con los capítulos anteriores se calculará, según el coeficiente de seguridad adoptado por el Reglamento particular que se aplique:
( ) γ = e β
δ
2 R
+
δ
2 S
1/
2
0
γK
≅ γ0
· e − 1,645 (δR + δS )
≅
1 − kR 1 + kS
·δR ·δS
·γ0
γ ∗ ≅ γ 0 · e − 1,645 (δR + δS ) ≅ 1 − kR · δ R · γ 0
γm ·γS
1 + kS · δS γ m · γ S
siendo:
γ0
el coeficiente de seguridad central;
γK
el coeficiente de seguridad característico;
γ∗
el coeficiente de seguridad de cálculo;
β
el índice de seguridad;
δR y δS los coeficientes de variación de R y S; kR y kS los coeficientes indicados en el artículo 2.1.2.;
γm y γS los factores de minoración de R y de mayoración de S, respectivamente.
La condición de proyecto será la de dimensionar de modo tal que se cumpla, según cual sea el coeficiente de seguridad adoptado, para toda sección y/o elemento de la estructura:
R ≥γ0 ·S
RK ≥ γ K · SK
R∗ ≥ γ ∗ · S∗
Dimensionamiento del Coeficiente de Seguridad
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siendo:
R
RK R∗
γ0 γK γ∗
S
SK S∗
el valor medio de la resistencia de una sección o de un elemento estructural; el valor característico de la resistencia de una sección o de un elemento estructural; el valor de cálculo de la resistencia de una sección o de un elemento estructural; el coeficiente de seguridad central; el coeficiente de seguridad característico; el coeficiente de seguridad de cálculo;
el valor medio de la solicitación de la misma sección o de un elemento estructural; el valor característico de la solicitación de la misma sección o de un elemento estructural; el valor de cálculo de la solicitación de la misma sección o de un elemento estructural.
En casos mixtos, por ejemplo si se quisiera que: R∗ ≥ γ i · SK ó RK ≥ γ j · S∗ deberá
calcularse el γ correspondiente, a partir de γ0 y expresiones análogas a las de γK y γ∗ que es fácil deducir. Es indispensable utilizar el mismo tipo de γ que adopta el Reglamento particular que se aplique y para los mismos estados límite.
5.2. VALORES MINIMOS DE γ
Cualquiera sea el valor de γ calculado, el que dé el Reglamento particular que se aplique deberá considerarse como un mínimo. Es decir, que si el Reglamento particular que se usa establece un γ0 ó γK ó γ∗ inferior al dado por las expresiones del artículo 4.1., se adoptará el mayor de los dos valores.
5.3. VALORES MAXIMOS DE γ
Se establece que todo valor de γ0 superior a 6,5 no podrá utilizarse debiendo mejorarse las condiciones de proyecto o de ejecución en forma tal que los δR y δS disminuyan y con ellos el γ0 . Los valores máximos de γK y γ∗ son los que resultan de aplicar las siguientes expresiones:
máx .
γK
≅ 6,50
·
1 − kR 1 + kS
·δR · δS
≅ 6 ,50 · e − 1,645 (δR + δS )
máx. γ ∗ ≅ 6,50 · 1 − kR · δ R ·
1
≅ 6 ,50 · 1 · e − 1,645 (δR + δS )
1 + kS · δS γ m · γ S
γm ·γS
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siendo:
γK
el coeficiente de seguridad característico;
γ∗
el coeficiente de seguridad de cálculo;
δR y δS los coeficientes de variación de R y S; kR y kS los coeficientes indicados en el artículo 2.1.2.;
γm y γS los factores de minoración de R y de mayoración de S, respectivamente.
5.4. CONFIRMACION DE LOS VALORES ADOPTADOS
Si al ejecutar la obra el Constructor previera o proyectara condiciones de ejecución diferentes a las supuestas por el proyectista, deberá redimensionar el coeficiente de seguridad con los nuevos valores de δR y δS obtenidos de acuerdo con el Capítulo 4. Con este nuevo valor del coeficiente de seguridad deberá recalcular la estructura.
5.5. VARIANTE AL CÁLCULO DE γ
No es necesario calcular γ de acuerdo con esta Recomendación, si se adoptan los siguientes valores:
5.5.1. Para el Reglamento CIRSOC 201–1984 "Proyecto, cálculo y ejecución de estructuras de Hormigón Armado y Pretensado".
a) γ = 2,70 tanto para rotura por acero dúctil como para rotura por hormigón (frágil)
b) γ = 1,75 para rotura por acero y γ = 2,10 para rotura por hormigón siempre que la estructura analizada cumpla las condiciones de la Tabla 1, sin exceder el valor tope de β = 3,71.
5.5.2. Para el Reglamento CIRSOC 301–1982 "Proyecto, cálculo y ejecución de estructuras de Acero para edificios", los valores de γ que se establecen en la Tabla 6 de dicho Reglamento.
5.5.3. Para la Recomendación CIRSOC 303–1991 "Estructuras livianas de acero", γ = 1,6.
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COMENTARIOS A LA RECOMENDACION CIRSOC 106 SOBRE DIMENSIONAMIENTO DEL COEFICIENTE DE SEGURIDAD
1. GENERALIDADES
Los Reglamentos particulares CIRSOC – ediciones vigentes entre 1982 y 1997 – aplicables a las estructuras de hormigón armado y pretensado y de acero definen el coeficiente de seguridad (que llamaremos γ) para una sección o para una tensión (∗) como un factor mayor que la unidad que incrementando la solicitación debe cumplir la relación:
R≥γ ·S ó R S≥γ
siendo:
R el valor de la resistencia en una sección o de la tensión de rotura o de fluencia según corresponda;
S el valor de la solicitación en la misma sección o de la tensión que da el cálculo estructural;
γ el coeficiente de seguridad.
En esta desigualdad R y S deben ser valores diferentes de una misma magnitud y γ un coeficiente mayor que uno que cubre ignorancias e incertidumbres en dichos valores. Los valores de γ dados por los Reglamentos son adoptados independientemente de la evaluación cuantitativa de dichas ignorancias e incertidumbres.
Si consideramos valores medios de R y S obtendremos el "coeficiente de seguridad central"
γ0
=
R S
(∗) En rigor, en un planteo más general R podría ser la resistencia de la estructura, lo que traería aparejada la consideración de sus "modos" de colapso. Este planteo más general permitiría un mayor y mejor aprovechamiento de la capacidad de las estructuras para soportar cargas, la que en general se agota con el colapso de varias secciones o elementos, lo que no es considerado en los Reglamentos CIRSOC particulares – ediciones vigentes entre 1982 y 1997.
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siendo:
R el valor medio de R; S el valor medio de S; γ0 el coeficiente de seguridad central.
Si en cambio se consideran valores característicos de R y S obtendremos el coeficiente de seguridad característico
siendo:
γK
=
RK SK
γK el coeficiente de seguridad característico; RK el valor característico de R, dado por:
RK ≅ R (1 − 1,645 δ R ) y para LN RK ≅ R · e − 1,645 δR
SK el valor característico de S, dado por:
SK ≅ S (1 + 1,645 δS ) y para LN SK ≅ S · e1,645 δS
con:
R y S los valores medios de R y S, respectivamente; δR y δS los coeficientes de variación de R y S, respectivamente.
Aún cabe la posibilidad de tomar para R y/o S valores de cálculo que resultan de minorar las resistencias y mayorar las solicitaciones características, teniéndose un nuevo valor del coeficiente de seguridad:
siendo:
γ
∗
=
R∗ S∗
γ∗ el coeficiente de seguridad de cálculo; R∗ el valor de cálculo de R, dado por:
R∗ = RK γm
Dimensionamiento del Coeficiente de Seguridad
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S∗ el valor de cálculo de S, dado por:
con:
S∗ = γ S · SK
RK y SK los valores característicos de R y S, respectivamente; γm y γS los coeficientes de minoración de R y mayoración de S,
respectivamente.
Evidentemente para un mismo problema será siempre:
siendo: γ0
γ0 >γK >γ∗ el coeficiente de seguridad central;
γK el coeficiente de seguridad característico; γ∗ el coeficiente de seguridad de cálculo.
Como es sabido el planteo probabilista de la seguridad nos permite obtener el valor de un límite de seguridad β en función de la probabilidad de falla Pf o de la confiabilidad PS = 1 − Pf .
Se obtiene:
siendo:
β = ln γ0 δR2 + δS2
β
el índice de seguridad;
γ0
el coeficiente de seguridad central;
δR y δS los coeficientes de variación de R y S. y de aquí:
( ) γ = eβ
δR2
+ δS2
1 2
0
( ) γ K
= RK SK
≅
γ0
· e − 1,645
(δ s
+ δR )
≅
γ
0
·
1 1
− +
kR kS
δR δS
= 1 − kR 1 + kS
δR δS
·eβ
δ
2 R
+
δS2
1 2
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( ) γ ∗
=
R∗ S∗
≅
γ0 γm γS
· e − 1,645 (δR
+ δS )
≅γK
1 · γm γS
=γ0
1 − kR 1 + kS
δR δS
1 · γm γS
= 1 − kR 1 + kS
δR δS
·eβ
δR2 + δS2
1 2
1 · γm γS
siendo: γ0
el coeficiente de seguridad central;
β
el índice de seguridad;
δR y δS los coeficientes de variación de R y S;
γK
el coeficiente de seguridad característico;
RK y SK los valores característicos de R y S; kR y kS los coeficientes indicados en el artículo 2.1.2.;
R∗ y S∗ los valores de cálculo de R y S;
γm y γS los coeficientes de minoración de R y mayoración de S, respectivamente.
Los valores de kR y kS si se toman al percentil 5% como es usual, resultan tener un valor igual a 1,645. Resulta pues, que los diferentes coeficientes de seguridad son funciones de β , δR y δS , o sea de la Pf "tolerada" y de los coeficientes de variación de R y S. Una expresión aproximada de γ0 , linealizando el exponente de "e":
permite obtener:
γ 0 ≅ eαRS β (δR + δS )
R ≥γ0 S
R ≥ eαRS β δR eαRS β δS S
R e − αRS β δR ≥ S eαRS β δS
Rφ ≥Sθ
∴
γ0
=θ φ
=
eαRS β δS e − αRS β δR
siendo:
γ0 β αRS δR y δS
R yS
el coeficiente de seguridad central; el índice de seguridad; el factor de linealización; los coeficientes de variación de R y S; los valores medios de R y S.
Dimensionamiento del Coeficiente de Seguridad
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A: φ = e− αRS β δR y a θ = eαRS β δS suele llamárseles, respectivamente, coeficientes de
minoración de resistencia y de mayoración de solicitación. Análogamente puede obtenerse:
γK
= θK φK
=
eαRS β δS e − αRS β δR
· 1 − kR δR 1 + kS δS
θK
=
eαRS β δS 1 + kS δS
φK
= e − αRS β δR 1 − kR δR
γ∗
=
θ φ
∗ ∗
=
eαRS β δS e − αRS β δR
· 1 − kR δR 1 + kS δS
·1 γm γS
( ) θ ∗ =
eαRS β δS
1 + kS δS γ S
( ) φ ∗ = e − αRS β δR
1 − kR δR
γm
siendo:
γK αRS β δR y δS kR y kS γm y γS γ∗ φK θK φ∗ θ∗
el coeficiente de seguridad característico; el factor de linealización; el índice de seguridad; los coeficientes de variación de R y S; los coeficientes indicados en el artículo 2.1.2.; los coeficientes de minoración de R y mayoración de S; el coeficiente de seguridad de cálculo; el coeficiente de minoración de RK ; el coeficiente de mayoración de SK ; el coeficiente de minoración de R*; el coeficiente de mayoración de S*.
Si se tuviera como en el Reglamento Mejicano o el de la ACI (318/77) un coeficiente φ de minoración de resistencia y varios θi (i = 1, …., n) de mayoración de solicitaciones, fijados con criterio probabilístico cualitativo, se pasaría a las expresiones con un γ único de la siguiente manera:
φ R ≥ θ1 S1 + θ2 S2 + ....... + θn Sn
R
≥
θ1 φ
S1
+
θ2 φ
S2
+ ....... +
θn φ
Sn
R ≥ γ 1 S1 + γ 2 S2 + ....... + γ n Sn S = S1 + S2 + ....... + Sn
Reglamento CIRSOC 106 y sus Comentarios
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y como resulta:
γ 1 S1 + γ 2 S2 + ....... + γ n Sn = γ S
γ
= γ1
S1 S
+ γ2
S2 S
+ ....... + γ n
Sn S
= γ1
k1
+ γ2
k2
+ ....... + γ n
kn
R ≥ γ S = (γ 1 k1 + γ 2 k2 + ....... + γ n kn ) S
γ
= θ1 φ
k1
+ θ2 φ
k2
+ ....... + θn φ
kn
θ S = θ1 S1 + θ2 S2 + ....... + θn Sn
θ
= θ1
S1 S
+ θ2
S2 S
+ ....... + θn
Sn S
θ = θ1 k1 + θ2 k2 + ....... + θn kn
γ =θ φ
2. CALCULO DEL COEFICIENTE DE SEGURIDAD
Observando las expresiones que dan los valores de γ0 , γK y γ∗ se llega a la conclusión de que fijado un valor de la Pf "tolerable" (y por lo tanto del "índice de seguridad " β ) y conocidos los coeficientes de variación de R y S puede determinarse el valor del "coeficiente de seguridad" que nos garantice un proyecto con la confiabilidad deseada.
Nótese que elegir un valor de γ sin conocer los valores de δR y δS , que serán medidas de la precisión y el cuidado con que se trabaje en la obra y en el proyecto, respectivamente, puede llevar a estructuras de diferente confiabilidad, la que no es expresada por dicho coeficiente de seguridad, pudiendo llegarse con facilidad a situaciones lindantes con la falla. Puede llegar a ocurrir inclusive que con determinados valores de δR y δS sea imposible lograr la confiabilidad deseada con valores económicamente aceptables de γ .
Dimensionamiento del Coeficiente de Seguridad
Edición Julio 1982
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Conocidos por relevamientos en la realidad los valores usuales de δR y δS en determinado medio, puede llegar a deducirse el valor de β , y por lo tanto Pf que admite implícitamente un reglamento dictado para dicho medio, al fijar un valor de γ . Adoptar los γ de un reglamento dictado para un medio tecnológicamente avanzado, en otro que lo es menos y en el que por tanto, resultarán valores de δR y δS mayores, implica lisa y llanamente aceptar una Pf mayor, o lo que es lo mismo, construir estructuras menos confiables, lo que implica riesgos mayores. Como entre nosotros se suelen adoptar normas de países tecnológicamente más avanzados, estaríamos corriendo el riesgo recién anotado. Al adoptar estas normas, deberíamos en conciencia, dar a los coeficientes de seguridad por ellas establecidos, el carácter de mínimos, debiendo determinarse el valor del coeficiente que deberá ser adoptado en los cálculos, fijado Pf y obtenidos los valores de δR y δS correspondientes. Esto último es lo que se propone en la Recomendación CIRSOC 106–1982 "Dimensionamiento del coeficiente de seguridad". Para el caso de superposición de acciones, por aplicación reiterada del coeficiente de linealización se obtendría:
a) si:
S = S1 + S2 + S3 + S4
;
ki
=
Si S
(i = 1 ; .....; 4)
( ) δ S = α1 k1 δS1 + α1 α2 k2 δ S2 + α1 α2 α3 k3 δS3 + k4 δ S4
θ = e β [α1 k1 δS1 + α1 α2 k2 δS2 + α1 α2 α3 (k3 δS3 + k4 δS 4 )]αRS
θ = η1 η2 η3 η4
con
η = e β α1 k1 δS1 αRS 1
; etc.
En que los ηi (i = 1; …; n) son los coeficientes de mayoración de cada Si (i = 1;...; n), en este caso calculados probabilísticamente.
b) si:
S = ψ 1 S1 + ψ 2 S2 + ψ 3 S3 + ψ 4 S4
( ) δ S = α1 k1 ψ 1 δ S1 + α1 α2 k2 ψ 2 δS2 + α1 α2 α3 k3 ψ 3 δ S3 + k4 ψ 4 δ S4
c) si se tratara de valores últimos resultaría:
γ S = Su = γ 1 S1 + γ 2 S2 + γ 3 S3 + γ 4 S4
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( ) δ S = α1 k1 γ 1 δS1 + α1 α2 k2 γ 2 δ S2 + α1 α2 α3 k3 γ 3 δ S3 + k4 γ 4 δS4
La relación entre los γi (i = 1; …; 4) parciales fijados en forma probabilística cualitativa y el γ único resulta de :
γ 1 S1 + γ 2 S2 + γ 3 S3 + γ 4 S4 = γ S
con:
S = S1 + S2 + S3 + S4
γ
= γ1
S1 S
+ γ2
S2 S
+ γ3
S3 S
+ γ4
S4 S
γ = γ 1 k1 + γ 2 k2 + γ 3 k3 + γ 4 k4
d) si se tratara de valores últimos de combinación, resultaría:
( ) δ S = α1 k1 γ 1 ψ1 δ S1 + α1 α2 k2 γ 2 ψ 2 δ S2 + α1 α2 α3 γ 3 ψ 3 k3 δ S3 + γ 4 ψ 4 k4 δS4
Adoptando para los αi el valor aproximado 0,75 y suponiendo δSi = 0,20 , ki = 0,26 , resultaría:
α1 = 0,75
α1 α2 ≅ 0,56
α1 α2 α3 ≅ 0,42
( ) y δS = 0,75 δS1 k1 + 0,56 δS2 k2 + 0,42 δS3 k3 + δS4 k4
ó δS = 0,187 δS1 + 0,14 δS2 + 0,105 (δS3 + δS4 )
Aumentando la cantidad de solicitaciones superpuestas disminuyen sus contribuciones al δS de la solicitación resultante S = S1 + S2 + S3 + S4 .
3. VALORES DE LA PROBABILIDAD DE FALLA "TOLERABLE"
En el Boletín 124/125-F del CEB se proponen a título tentativo los valores de Pf (anexo I página 55) para los estados límite últimos y referidos a la vida útil de la estructura, que se transcriben en la Tabla 1 de la Recomendación CIRSOC 106– 1982. Fijando un riesgo personal de muerte aceptable, por año de 10-5 deberá ser en todo caso:
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siendo:
Pf
≤T
· 10 − 5 n
T la vida útil de la construcción; n la cantidad media de personas en peligro.
Según el mismo boletín 124/125-F la vida útil que debe considerarse para diferentes
tipos de construcciones es (anexo I página 70) la que se indica en la Tabla 2 de la Recomendación CIRSOC 106–1982. Para los estados límite de utilización da como valores aceptables de Pf hasta 10-2 ( β = 2,32 ). Se ha adoptado βmín = 2,32 .
En la bibliografía sobre el tema se han propuesto diferentes criterios para fijar Pf en un caso determinado.
4. VALORES DE δR y δS
Si se considera que todas las variables que intervienen en un proyecto estructural son aleatorias, para determinar δR y δS se requerirían datos estadísticos, de los que en general no se dispone, y cálculos probabilísticos que harían imposible su uso en la práctica. Por ello se acepta normalmente un modelo simplificado debido a Cornell en el que se toma:
R =a·M·E·D
S =c·C· A
con
M =E =D=1
C = A=1
siendo: a y c las constantes deterministas; M representa las condiciones propias del material o los materiales; E ídem de la ejecución de la estructura; D ídem de los modelos empleados en el cálculo de R; C ídem de las cargas o acciones totales; A ídem de los modelos empleados en el cálculo de S (análisis estructural).
Los valores de δ M , δE , δD , δC y δ A se fijan según condiciones generales de fabricación del material, ejecución de la estructura, de los cálculos, etc. La información bibliográfica recogida ha llevado a los valores que se indican en las Tablas 3, 4, 5 y 6 de la Recomendación CIRSOC 106–1982. Adoptado un valor de Pf o de β y los valores correspondientes a los δ se puede calcular:
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δR2 = δM2 + δE2 + δD2
δS2
= δC2
+
δ
2 A
y con ellos siendo:
( ) γ = eβ
δR2
+
δ
2 S
1 2
0
δR y δS los coeficientes de variación de R y S;
δM
el coeficiente que depende de las condiciones propias del
material;
δE
el coeficiente que depende de las condiciones de la ejecución de
la estructura;
δD
el coeficiente que depende de los modelos empleados en el
cálculo de la resistencia;
δC
el coeficiente que depende de las particularidades de las cargas;
δA
el coeficiente que depende de los modelos empleados en el
cálculo de las solicitaciones (análisis estructural).
De donde puede obtenerse γ K y γ ∗ según se requiera, con las expresiones de los artículos 2.1.2. y 2.1.3. de la Recomendación CIRSOC 106–1982. Al valor de γ 0 , γ K ó γ ∗ según sea el caso, así obtenido, deberá limitárselo
a) inferiormente, por el γ 0 , γ K ó γ ∗ del Reglamento CIRSOC (1982 / 1997) particular adoptado;
b) superiormente, por un máximo que hace antieconómica la adopción de valores mayores. Para γ 0 se establece este máximo en 6,50. Si se obtienen valores de γ mayores que los máximos deberá tratarse de disminuir los valores de los δ mediante una ejecución y/o un proyecto más cuidados.
5. GRAFICOS β − γ
Las Figuras 1 a 14 muestran los gráficos β − γ para diferentes tipos de estructuras y condiciones. Las Figuras 15 y 16 muestran los gráficos de distribución normal y lognormal aproximada y exacta.
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Figura 1. Gráfico β − γ para estructuras de acero normal trabajando en condiciones cuidadas (recaudos constructivos I y combinación P-S) con γ m · γ S = 1 y δ M = δ E = δ D = δC = δ A = 0,05 .
Figura 2. Gráfico β − γ para estructuras de acero normal trabajando en condiciones razonables (recaudos constructivos II y combinación P) con γ m · γ S = 1 y δ M = 0,075 , δ E = 0,12 , δ D = 0,1 , δC = 0,1 y δ A = 0,12 .
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Figura 3. Gráfico β − γ para estructuras de acero normal trabajando en condiciones intermedias (1) (recaudos constructivos I, combinación P) con γ m · γ S = 1 y δ M = δ E = δ D = 0,05 , δC = 0,1 y δ A = 0,12 .
Figura 4. Gráfico β − γ para estructuras de acero normal trabajando en condiciones intermedias (2) (recaudos constructivos II, combinación P-S) con γ m · γ S = 1 y δ M = 0,075 , δ E = 0,12 , δ D = 0,1 y δC = δ A = 0,05 .
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Figura 5. Gráfico β − γ para estructuras de hormigón armado trabajando en condiciones pobres con γ m · γ S = 1,22 y δ M = 0,2 , δ E = 0,25 , δ D = 0,2 , δC = 0,3 y δ A = 0,25 .
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Figura 6. Gráfico β − γ para estructuras de hormigón armado trabajando en condiciones razonables con γ m · γ S = 1,22 y δ M = 0,1 , δ E = 0,12 , δ D = 0,1 y δC = δ A = 0,15 .
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Figura 7. Gráfico β − γ para estructuras de hormigón armado trabajando en
condiciones cuidadas con
γ m · γ S = 1,22
y
δ M = δ E = 0,1 y
δ D = δC = δ A = 0,05 .
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Figura 8. Gráfico β − γ para estructuras de hormigón armado trabajando en
condiciones intermedias (1), (Proyecto bueno y empresa pobre) con γ m · γ S = 1,22 y δ M = 0,2 , δ E = 0,25 , δ D = 0,1 y δC = δ A = 0,15 .
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Figura 9. Gráfico β − γ para estructuras de hormigón armado trabajando en
condiciones intermedias (2), (proyecto pobre y empresa buena) con γ m · γ S = 1,22 y δ M = 0,1 , δ E = 0,12 , δ D = 0,2 , δC = 0,3 y δ A = 0,25 .
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Figura 10.
Gráfico β − γ para estructuras de acero liviano trabajando en condiciones razonables con γ m · γ S = 1 y δ M = 0,075 , δ E = 0,12 , δ D = 0,1 , δC = 0,1 y δ A = 0,15 .
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Figura 11.
Gráfico β − γ para estructuras de madera y mampostería trabajando en condiciones pobres con γ m · γ S = 1,5 y δ M = 0,2 , δ E = 0,25 , δ D = 0,2 , δC = 0,3 y δ A = 0,25 .
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Figura 12.
Gráfico β − γ para estructuras de madera y mampostería trabajando en condiciones razonables con γ m · γ S = 1,5 y δ M = 0,15 , δ E = 0,2 y δ D = δC = δ A = 0,15 .
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Figura 13.
Gráfico β − γ para estructuras de hormigón armado. Valores de
reemplazo de γ K = 1,75 , acero para hormigón. Para el caso de empresa pobre ( δ M = 0,05 y δ E = 0,25 ) y proyecto bueno ( δ D = 0,1 , δC = 0,15 y δ A = 0,15 ) con γ m · γ S = 1 .
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Figura 14.
Gráfico β − γ para estructuras de hormigón armado. Valores de reemplazo de γ ∗ = 2,1 , del hormigón. Para el caso de empresa pobre ( δ M = 0,2 y δ E = 0,25 ) y proyecto bueno ( δ D = 0,1 , δC = 0,15 y δ A = 0,15 ) con γ m · γ S = 1,22 .
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A)
X
LN K
≅ e − 1,645 δ
XM
B)
X
N K
≅ 1 − 1,645 δ
XM
Figura 15. Distribución normal y lognormal aproximada de la relación entre el valor característico (XK) y el valor medio (XM).
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A)
X
LN K
≅ e − 1,645 δ
XM
( ) B)
X
LN K
≅ e − 1,645
ln 1+δ 2
XM
1+δ2
Figura 16. Comparación entre las distribuciones lognormal aproximada y exacta para la relación entre el valor característico (XK) y el valor medio (XM).
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Ver+/-
