Repositorio Institucional

Incertidumbre por Desadaptacio´n en RF Parte 1

G. Monasterios H. Silva

A. Henze N. Tempone Lab. Metrolog´ıa RF & Microondas, INTI

http://www.inti.gov.ar/electronicaeinformatica/metrologiarf guillem@inti.gov.ar

Septiembre 2011 (rev. 08/2012)



Lab. Metrolog´ıa RF & Microondas - INTI



´Indice



1. Introducci´on



2



2. Marco Teo´rico



2



2.1. Distribuciones de probabilidad marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2



2.1.1. Distribuci´on Anillo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2



2.1.2. Distribucio´n Disco Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3



2.2. Distribucio´n de probabilidad del producto de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 3



3. Mismatch en mediciones de potencia



4



3.1. Definicio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4



3.2. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4



3.3. Distribuciones de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5



3.3.1. Distribucio´n Anillo/Anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5



3.3.2. Distribuci´on Anillo/Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6



3.3.3. Distribucio´n Disco/Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6



4. Mismatch en transmisio´n



6



4.1. Definicio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6



4.2. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7



5. Resumen



8



6. Ejemplos



8



6.1. Ejemplo 1. Generador de RF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8



6.2. Ejemplo 2. Analizador de espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10



6.3. Ejemplo 3. Atenuacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11



Bibliograf´ıa



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1



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1. Introduccio´n

El siguiente documento describe las metodolog´ıas de c´alculo empleadas en la evaluaci´on de la incertidumbre por Desadaptacio´n o Mismatch en sistemas de medicio´n de RF. El Mismatch se produce como consecuencia de las mu´ltiples reflexiones ocasionadas en una l´ınea de transmisi´on cuando los extremos presentan una impedancia distinta a la impedancia caracter´ıstica de la l´ınea, Z0. Una impedancia distinta a Z0 implica un coeficiente de reflexio´n Γ = 0, siendo Γ una magnitud bidimensional (variable compleja) de la cual muchas veces se desconoce el valor de su fase, lo que trae aparejado que el vector Γ est´e ubicado dentro de una regi´on circular centrada en el origen del plano complejo ya que cualquier valor de fase es posible. Como consecuencia se tiene una incertidumbre del valor de la coordenada que representa al coeficiente de reflexio´n. En la seccio´n 3 se presentan los casos ma´s comunes segu´n la informacio´n disponible de los coeficientes de reflexi´on presentes en el esquema de medicio´n. Tambi´en se analizan diversos ejemplos como referencia para las estimaciones de las incertidumbres cuando se realizan mediciones en RF.



2. Marco Te´orico

2.1. Distribuciones de probabilidad marginales

Una distribucio´n marginal es la proyeccio´n de cierta distribuci´on de probabilidad de m´as de una dimensi´on, en este caso en el plano complejo, sobre el eje Re o Im. La distribucio´n de los posibles valores del vector coeficiente de reflexio´n viene dada por la informacio´n disponible tanto del m´odulo como de la fase del mismo. En la pra´ctica se presentan principalmente los siguientes casos1:

1. Se conoce el valor del mo´dulo del coeficiente de reflexio´n. Se desconoce el valor de la fase.

2. Se conoce el ma´ximo especificado2 del mo´dulo del coeficiente de reflexio´n. Se desconoce el valor de la fase.



2.1.1. Distribucio´n Anillo Uniforme



En este caso se conoce el mo´dulo del coeficiente de reflexi´on, |Γ|, pero se desconoce el valor de su fase, por lo que a la misma se la considera uniformemente distribuida (distribuci´on rectangular). La forma de distribuci´on de Γ es la de un anillo (uniform ring) centrado en el origen de coordenadas, donde la proyeccio´n en el eje Re e Im sigue una distribuci´on de probabilidad marginal del tipo “arcoseno” cuya funci´on de densidad es la llamada Tipo U como se ve en la Fig. 1. Considerando que el radio del anillo es el m´odulo |Γ|, la varianza marginal de esta distribuci´on es:



σ2(Γ) = |Γ|2



(1)



2



1Se puede dar el caso de conocer tanto el m´odulo como la fase de Γ. Este caso se tratara´ en la segunda parte del

presente trabajo. 2El valor “ma´ximo especificado”se refiere al valor declarado por el fabricante, que suele ser un valor conservador.



2



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Figura 1: Densidad de Probabilidad de Re{Γ} cuando Γ var´ıa segu´n un Anillo [4]



y la matriz covarianza de Γ es:



|Γ|2 1 0



v(Γ) =



(2)



2 01



2.1.2. Distribuci´on Disco Uniforme



En este caso se conoce el m´aximo especificado del m´odulo del coeficiente de reflexio´n, pero se desconoce su fase, por lo que el valor del vector Γ tiene igual probabilidad de situarse en cualquier punto dentro de un c´ırculo de radio |Γ| centrado en el origen. La forma de distribucio´n en este caso es la de un disco (uniform disk ). La varianza de la distribuci´on marginal de esta distribucio´n es:



σ2(Γ) = |Γ|2



(3)



4



y la matriz covarianza de Γ es:



|Γ|2 1 0



v(Γ) = 4



01



(4)



2.2. Distribucio´n de probabilidad del producto de vectores

Se demuestra en [7] que si dos vectores V1 y V2 tienen una distribucio´n de probabilidad coincidentes con las presentadas en la secci´on 2.1, la varianza de la parte real (o marginal) del producto de



3



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estos vectores bidimensionales es igual a 2 veces el producto de las varianzas de las distribuciones



marginales individuales:



σ2[Re(V1V2)] = 2 σ2(V1) σ2(V2)



(5)



3. Mismatch en mediciones de potencia



3.1. Definicio´n



En un sistema donde un generador de RF inyecta una sen˜al en una l´ınea de transmisio´n, la potencia incidente Pi en la carga esta´ dada por [1]:



Pi



=



|bs|2



|1



−



1 ΓGΓL|2



(6)



donde ΓG y ΓL son los coeficientes de reflexi´on del generador y de la carga respectivamente. En el

caso que la carga tenga una impedancia igual a la impedancia caracter´ıstica Z0 de la l´ınea, entonces |ΓL| = 0 por lo que Pi|Z0 = |bs|2. La variaci´on en la potencia incidente entre el caso de carga adaptada a Z0 y el caso en que tanto

ΓG como ΓL son = 0 se conoce como Mismatch o M donde:



1



M = |1 − ΓGΓL|2



(7)



Expandiendo el denominador se llega a:



1



M = 1 − 2|ΓG||ΓL| cos (φG + φL) + |ΓG|2|ΓL|2



(8)



Dado que los valores de |ΓL| y |ΓG| comu´nmente son cercanos a cero se puede despreciar el t´ermino cuadr´atico, quedando la siguiente relacio´n:



1



M=



(9)



1 − 2|ΓG||ΓL| cos (φG + φL)



o tambi´en, de forma de recalcar la naturaleza vectorial de los coeficientes de reflexio´n:



1



M=



(10)



1 − 2 e(ΓGΓL)



M ≈ 1 + 2 e(ΓGΓL)



(11)



En este documento, al segundo miembro del segundo t´ermino se lo denomina “Error por Mismatch”.



4



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3.2. Varianza



A partir de (11) tenemos que la varianza del error por Mismatch es:



σ2(M ) = 4 σ2[Re(ΓGΓL)]



(12)



y teniendo en cuenta la ecuaci´on (5) donde V1 y V2 representan a ΓG y ΓL respectivamente, se tiene



que:



σ2(M ) = 8 σ2(ΓG) σ2(ΓL)



(13)



3.3. Distribuciones de probabilidad

Segu´n la informaci´on disponible sobre |ΓG| y |ΓL| se tienen distintas expresiones para las respectivas varianzas de las distribuciones marginales y por ende se tienen distintas distribuciones de probabilidad del error por Mismatch. A continuaci´on se enumeran distintas posibilidades que se presentan en la pra´ctica3:

1. Se conocen los valores del mo´dulo de ambos coeficientes de reflexio´n.

2. Se conoce el valor de un coeficiente de reflexi´on y el m´aximo especificado del segundo.

3. Se conocen los m´aximos especificados del mo´dulo de ambos coeficientes de reflexio´n.

Al considerar que las distribuciones de probabilidad del coeficiente de reflexi´on esta´n centradas en el origen entonces el valor medio o “esperado”de las distribuciones de probabilidad del error por Mismatch ser´a siempre igual a cero. Esto indica que ante esta situacio´n no es posible corregir dicho error y que solamente puede estimarse un desv´ıo standard asociado al mismo.



3.3.1. Distribucio´n Anillo/Anillo



Si se conocen los m´odulos de los dos coeficientes de reflexi´on, |ΓG| y |ΓL|, se obtiene una distribucio´n de probabilidad comu´nmente conocida como Tipo U. Entonces segu´n (1) y (13) queda:



σ2(M )



=



8 |ΓG|2 2



|ΓL|2 2



=



2|ΓG|2|ΓL|2



(varianza)



(14)



√



σ(M ) = 2|ΓG||ΓL|



(desv´ıo standard 1-sigma)



(15)



La distribuci´on resultante de M tiene la siguiente forma:

3Se asume que no se tiene informacio´n respecto a φ(Γ) de ninguno de los dos vectores



5



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Figura 2: Densidad de probabilidad normalizada si se conocen los m´odulos de ambos Γ



3.3.2. Distribuci´on Anillo/Disco



Si se conoce el valor ma´ximo especificado del m´odulo de ΓG y el valor del m´odulo de ΓL o viceversa, entonces segu´n (1), (3) y (13) queda (suponiendo m´aximo |ΓG| especificado):



σ2(M )



=



8 |ΓG|2 4



|ΓL|2 2



=



|ΓG|2|ΓL|2



(varianza)



(16)



σ(M ) = |ΓG||ΓL|



(desv´ıo standard 1-sigma)



(17)



La distribucio´n tiene la forma indicada por la Fig. 3.



Figura 3: Densidad de Probabilidad normalizada si se conoce el m´odulo de un solo Γ 6



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3.3.3. Distribuci´on Disco/Disco



Si solo se conocen los valores ma´ximos especificados de los m´odulos de ambos coeficientes de reflexio´n ΓG y ΓL, entonces segu´n (3) y (13) queda:



σ2(M )



=



8 |ΓG|2 4



|ΓL|2 4



=



1 2



|ΓG|2



|ΓL|2



(varianza)



(18)



1



σ(M )



=



√ 2



|ΓG||ΓL|



(desv´ıo standard 1-sigma)



(19)



La distribuci´on tiene la forma indicada por la Fig. 4.



Figura 4: Densidad de probabilidad si se conocen los m´aximos valores de los m´odulos de ambos Γ



4. Mismatch en transmisio´n



4.1. Definicio´n



Cuando se mide la atenuacio´n de un dispositivo de 2 puertos (DUT) como se ve en la Fig. 7 aparecen desadaptaciones tanto en la entrada como en la salida del DUT. Aplicando la regla de Mason al diagrama de flujo del esquema en cuestio´n, se llega a la siguiente expresi´on [3] que expresa el valor absoluto del error por Mismatch debido a estas desadaptaciones cuando se mide |S21| :



M [dB] = 10 × log (1 − ΓGS11)(1 − ΓLS22) − ΓGΓLS12S21 2



(20)



1 − ΓGΓL



donde ΓG y ΓL son los coeficientes de reflexi´on del generador de RF y del sensor de potencia respectivamente, y Sxx son los par´ametros S del DUT.



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Asumiendo que el DUT es un dispositivo rec´ıproco (S21 = S12) y considerando que S11 y S22 son valores pequen˜os, operando se llega a que:



M [dB] = 10 × log 1 −ΓGS11 − ΓLS22 − |S21|2ΓGΓL + ΓGΓL 2



(21)



x



Si x ≈ 0 se cumple que |1 + x|2 ≈ 1 + 2 Re{x}:



M [dB] ≈ 10 × log(1 + 2 Re{−ΓGS11 − ΓLS22 − |S21|2ΓGΓL + ΓGΓL})



(22)



M [dB] ≈ 4,34 × ln(1 + 2 Re{−ΓGS11 − ΓLS22 − |S21|2ΓGΓL + ΓGΓL})



(23)



Teniendo en cuenta que si x ≈ 0, ln(1 + 2x) ≈ 2x, queda:

M [dB] ≈ 4,34 (−2 Re{ΓGS11} − 2 Re{ΓLS22} − 2 Re{|S21|2ΓGΓL} + 2 Re{ΓGΓL}) (24)

4.2. Varianza

La varianza de (24) se calcula como la suma de las varianzas individuales de cada uno de sus t´erminos debido a que el desconocimiento de las fases implica que todos son independientes entre s´ı y por lo tanto no existen covarianzas entre los mismos. Se observa que cada t´ermino del segundo miembro tiene la forma del t´ermino de error de (11) y sus varianzas individuales se calculan segu´n (13). De la medicio´n de atenuacio´n se conoce el valor de |S21|, por lo que puede asumirse que el t´ermino que incluye el lazo a trav´es del DUT tiene la forma dada en (13) donde |S21|2 aparece como constante.

Finalmente:

σ2(M ) ≈ 8 σ2(ΓG)σ2(S11) + 8 σ2(ΓL)σ2(S22) + 8 |S21|4σ2(ΓG)σ2(ΓL) + 8 σ2(ΓG)σ2(ΓL) (25)



σ(M )[dB] ≈ (4,34)2 [8 σ2(ΓG)σ2(S11) + 8 σ2(ΓL)σ2(S22) + 8 |S21|4σ2(ΓG)σ2(ΓL) + 8 σ2(ΓG)σ2(ΓL)] (26)

5. Resumen

A continuacio´n se resumen los par´ametros caracter´ısticos de los distintos casos presentados:



8



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Informacio´n

|ΓG| y |ΓL| |ΓG| y |ΓL|max |ΓG|max y |ΓL|max



√ σ(M ) 2 × |ΓG| × |ΓL|



|ΓG| × |ΓL|



√1 2



×



|ΓG|



×



|ΓL|



Distribuci´on Tipo-U -



Tipo Anillo/Anillo Disco/Anillo Disco/Disco



Cuadro 1: Casos posibles - Incertidumbre standard por Mismatch



6. Ejemplos

1. Medici´on del nivel de salida de un generador de RF 2. Medicio´n de exactitud de un analizador de espectro 3. Medicio´n de los par´ametros S de un dispositivo de 2 puertos



6.1. Ejemplo 1. Generador de RF

En el caso de medir la potencia absoluta de salida de un generador de RF como muestra la Fig. 5, ΓG representa el coeficiente de reflexi´on del generador y ΓL el del sensor de potencia. En general la informacio´n que se conoce de ΓG es la especificaci´on de |ΓG|max o ROEmax que informa el fabricante mientras que el ΓL puede ser medido por medio de un VNA4 para conocer su m´odulo. De esta forma se tiene el caso presentado en la seccio´n 3.3.2. Como ejemplo, supongamos tener los siguientes equipos en nuestro esquema de medicio´n para medir la salida de un generador en 18 GHz :

Generador de RF Marca: Rohde & Schwarz Modelo: SMR40 Especificaci´on: ROE < 2



Sensor de potencia Marca: Agilent Modelo: E4412 Especificaci´on: ROE < 1, 27 (10 GHz a 18 GHz) Datos de certificado de calibraci´on: |ΓL| = 0,016



Utilizando el mo´dulo del coeficiente de reflexi´on del sensor informado en su certificado de calibracio´n y segu´n lo explicado en la secci´on 3.3.2, el desv´ıo standard del error por Mismatch (1-sigma) se calcula segu´n el caso Anillo/Disco:



4VNA: Vector Network Analyzer



ROEG = 2 ⇒ |ΓG|max = 0,33



(27)



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Figura 5: Medici´on del nivel de salida de un generador de RF



|ΓL| = 0,016



(28)



σ(M ) = 0,33 × 0,016 = 0,005



(29)



Si en vez de utilizar los datos del certificado de calibraci´on del sensor, se utiliza la especificacio´n del fabricante, entonces el desv´ıo standard del error por Mismatch se comporta de acuerdo al caso Disco/Disco visto en la secci´on 3.3.3:



ROEG = 2 ⇒ |ΓG|max = 0,33



(30)



ROEL = 1,27 ⇒ |ΓL|max = 0,12



(31)



1



σ(M ) = √ × 0,33 × 0,12 = 0,028



(32)



2



Como se puede apreciar, el desv´ıo standard calculado es aproximadamente 5 veces mayor si se usan



las especificaciones aseguradas por el fabricante que si se extrae el valor medido del certificado de



calibracio´n.



6.2. Ejemplo 2. Analizador de espectro



En el caso de medir la exactitud de escala de un analizador de espectro (fidelidad), la sen˜al que se inyecta al analizador se nivela como se ve en la Fig. 6 . Por lo tanto el ΓG es el correspondiente al coeficiente de reflexi´on equivalente Γeq del divisor de potencia [5]. La forma de calcular el mismo es a trav´es de la medici´on de los par´ametros S del divisor de potencia y luego por medio de la ecuacio´n (33), se obtiene el m´odulo y fase de Γeq. En este caso se considera que la salida hacia el DUT se conecta en el puerto 3 del divisor de potencia:



Γeq



=



S33



− (S13S32) S12



(33)



Se conoce |ΓL|max o ROEmax de la especificacio´n del fabricante correspondiente al analizador de espectro, que indica un peor caso para el m´odulo de ΓL pero no brinda informacio´n sobre su fase.



10



Lab. Metrolog´ıa RF & Microondas - INTI En este caso tambi´en se tiene la combinacio´n Anillo/Disco.

Figura 6: Esquema de medici´on de la Fidelidad de Escala de un analizador de espectro Como ejemplo, se tienen los siguientes equipos para medir el nivel de salida de un generador en 30 GHz:

Divisor de potencia Marca: Agilent Modelo: 11636C Datos de certificado de calibracio´n @30 GHz: |Γeqpuerto3| = 0,105

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Analizador de espectro Marca: Agilent Modelo: E4448A PSA Especificacio´n: ROE < 1,57 (26,5 GHz a 50 GHz)



En este caso el desv´ıo standard del error por Mismatch se calcula como sigue:



|ΓG| = |Γeqpuerto3 | = 0,105



(34)



ROEL = 1,57 ⇒ |ΓL|max = 0,22



(35)



σ(M ) = 0,105 × 0,22 = 0,023



(36)



6.3. Ejemplo 3. Atenuacio´n

Se realiza la medici´on de atenuaci´on [3] de un dispositivo pasivo en 15 GHz, con un esquema de medici´on como se ve en la Fig. 7. Los equipos utilizados se indican a continuaci´on:



Figura 7: Esquema de medici´on de Atenuaci´on

Generador de RF Marca: Rohde & Schwarz Modelo: SMR40 Especificaci´on: ROE < 2

Sensor de potencia Marca: Agilent

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Modelo: E4412A Datos de certificado de calibracio´n @15 GHz: |ΓL| = 0,020



Atenuador Agilent 8491B - 30 dB

|S11|15 GHz ≤ 0,20 (valor m´aximo especificado) |S12|15 GHz = 0,0311 (valor medido con el esquema de la Fig. 7) |S21|15 GHz = 0,0311 (valor medido con el esquema de la Fig. 7) |S22|15 GHz ≤ 0,20 (valor m´aximo especificado)



Utilizando la ecuaci´on (26):



σ(M )[dB] ≈ (4,34)2 [8 σ2(ΓG)σ2(S11) + 8 σ2(ΓL)σ2(S22) + 8 |S21|4σ2(ΓG)σ2(ΓL) + 8 σ2(ΓG)σ2(ΓL)]



se deduce que el primer t´ermino del segundo miembro coincide con el caso Disco/Disco:



8



σ2(ΓG)σ2(S11)



=



1 2



×



0,332



×



0,202



=



2,18



×



10−3



(37)



En el caso del pro´ximo t´ermino se tiene el caso Disco/Anillo:



8 σ2(ΓL)σ2(S22) = 0,0202 × 0,202 = 16,0 × 10−6



(38)



En el caso del t´ermino que incluye el lazo a trav´es del DUT, se conoce el mo´dulo de ΓL, pero se desconoce φ(ΓG). Se puede considerar que este caso es el Disco/Anillo:



8 |S21|4σ2(ΓG)σ2(ΓL) = |S21|4 × |ΓG|2 × |ΓL|2 = 0,03114 × 0,332 × 0,0202 ≈ 0



(39)



Por u´ltimo se tiene:



8 σ2(ΓG)σ2(ΓL) = |ΓG|2|ΓL|2 = 0,332 × 0,0202 = 43,610−6



(40)



Sumando todas las contribuciones, queda:



σ2(M ) = 2, 18 × 10−3 + 16, 0 × 10−6 + 43, 6 × 10−6) = 2, 24 × 10−3



(41)



σ(M ) = (4,34)2 × 2, 24 × 10−3 = 0, 205 dB



(42)



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Referencias

[1] Agilent (AN 1449-3): Fundamentals of RF and Microwave Power Measurements (Part 3), Apr 2011.

[2] Harris, I.A.; Warner, F.L., “Re-examination of mismatch uncertainty when measuring microwave power and attenuation”, Microwaves, Optics and Antennas, IEE Proceedings H , vol.128, no.1, pp.35-41, Feb 1981.

[3] Warner, F.L., “Microwave attenuation measurement”, (Peter Peregrinus, 1977) , chaps 2, 8 & 14.

[4] Blair Hall: The uncertainty of a complex quantity with unknown phase, 33th ANAMET Meeting, May 2010.

[5] Engen, G.F., “Amplitude Stabilization of a Microwave Signal Source”, Microwave Theory and Techniques, IRE Transactions on , vol.6, no.2, pp.202-206, Apr 1958.

[6] Guldbrandsen, T., “Uncertainty contributions from mismatch in microwave measurements”, Microwaves, Antennas and Propagation, IEE Proceedings - , vol.148, no.6, pp.393-397, Dec 2001.

[7] Blair Hall: Mismatch uncertainty: representations for complex calculations, 29th ANAMET Meeting, March 2008.

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