Incertidumbre por Desadaptacio´n en RF parte 1
G. Monasterios H. Silva
A. Henze N. Tempone Lab. Metrolog´ıa RF & Microondas, INTI
http://www.inti.gov.ar/electronicaeinformatica/metrologiarf guillem@inti.gov.ar
Septiembre 2011
´Indice
1. Introducci´on
2
2. Marco Teo´rico
2
2.1. Definici´on de Mismatch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2. Distribuciones de probabilidad marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.1. Distribuci´on Anillo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.2. Distribuci´on Disco Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3. Distribuci´on de probabilidad del producto de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.1. Varianza de la incertidumbre por Mismatch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Distribuciones de probabilidad del Mismatch
5
3.1. Distribucio´n Anillo/Anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2. Distribucio´n Anillo/Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3. Distribucio´n Disco/Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. Distribuciones de probabilidad del Mismatch en Transmisio´n
6
5. Resumen
8
6. Ejemplos
8
6.1. Ejemplo 1. Generador de RF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.2. Ejemplo 2. Analizador de Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.3. Ejemplo 3. Atenuaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Bibliograf´ıa
13
1
1. Introduccio´n
El siguiente documento describe las metodolog´ıas de ca´lculo empleadas en la evaluaci´on de una de las fuentes de incertidumbre de mayor peso al medir Potencia en RF y Microondas: la incertidumbre por Desadaptaci´on o Mismatch. El Mismatch se produce como consecuencia de las mu´ltiples reflexiones ocasionadas en una l´ınea de transmisi´on cuando los extremos presentan una impedancia distinta a la impedancia caracter´ıstica de la l´ınea, Z0. Una impedancia distinta a Z0 implica un Coeficiente de Reflexi´on Γ = 0, siendo Γ una magnitud bidimensional (variable compleja) de la cual, en general, se desconoce el valor de su fase, lo que trae aparejado que el vector mo´dulo |Γ| (extremo fijo en el origen de coordenadas) empiece a rotar en el plano complejo ya que cualquier valor de fase es posible. Esto delimita un ´area en el plano complejo y en consecuencia una incertidumbre respecto al verdadero valor de la coordenada que representa el coeficiente de reflexio´n complejo. En la seccio´n 3 se presentan los tres casos m´as comunes segu´n la informaci´on disponible de los Coeficientes de Reflexi´on presentes en el esquema de medicio´n, donde se vera´n diversos ejemplos que ayuden como referencia en los c´alculos de incertidumbre que se deban realizar en los laboratorios de medicio´n en RF.
2. Marco Te´orico
2.1. Definicio´n de Mismatch
En un sistema donde un generador de RF inyecta una sen˜al en una l´ınea de transmisio´n, la Potencia incidente Pi en la carga est´a dada por [1]:
Pi
=
|bs|2
|1
−
1 ΓGΓL|2
(1)
donde ΓG y ΓL son los coeficientes de reflexio´n del generador y de la carga respectivamente. En el
caso que la carga tenga una impedancia igual a la impedancia caracter´ıstica Z0 de la l´ınea, entonces |ΓL| = 0 por lo que Pi|Z0 = |bs|2.
La variacio´n en la potencia incidente entre el caso de carga adaptada a Z0 y el caso en que
tanto ΓG como ΓL son = 0 es:
Pi Pi
=
1 |1 − ΓGΓL|2
(2)
Expandiendo el denominador se llega a:
Pi Pi
=
1
−
1 2|ΓG||ΓL| cos (φG
+
φL)
+
|ΓG|2|ΓL|2
(3)
Dado que los valores de |ΓL| y |ΓG| son cercanos a cero se puede despreciar el t´ermino cuadr´atico, quedando la siguiente relacio´n:
Pi =
1
(4)
Pi 1 − 2|ΓG||ΓL| cos (φG + φL)
2
o tambi´en, de forma de recalcar la naturaleza vectorial de los coeficientes de reflexi´on:
Pi =
1
(5)
Pi 1 − 2 Re(ΓGΓL)
Pi Pi
≈
1+2
Re(ΓGΓL)
(6)
Al segundo miembro del segundo t´ermino se lo denomina “Error por Mismatch”:
M = 2 Re(ΓGΓL)
(7)
2.2. Distribuciones de probabilidad marginales
Una distribucio´n marginal es la proyecci´on de cierta distribuci´on de probabilidad de ma´s de una dimensio´n, en este caso en el plano complejo, sobre el eje Re o Im. La distribuci´on de los posibles valores del vector Coeficiente de Reflexio´n viene dada por la informaci´on disponible tanto del mo´dulo como de la fase del mismo. En la pr´actica se presentan principalmente los siguientes casos1:
1. Se conoce el valor del mo´dulo del Coeficiente de Reflexio´n. Se desconoce el valor de la fase
2. Se conoce el m´aximo valor posible del mo´dulo del Coeficiente de Reflexio´n. Se desconoce el valor de la fase
2.2.1. Distribuci´on Anillo Uniforme
En este caso se conoce el m´odulo del coeficiente de reflexi´on, |Γ|, pero se desconoce el valor de su
fase, por lo que a la misma se la considera uniformemente distribuida (distribuci´on rectangular). La
forma de distribuci´on de Γ es la de un anillo (uniform ring) centrado en el origen de coordenadas,
donde la proyecci´on en el eje Re e Im sigue una distribucio´n de probabilidad marginal del tipo
“arcoseno” cuya funcio´n de densidad es la llamada Tipo U como se ve en la Fig. 1.
Considerando que el radio del anillo es el mo´dulo |Γ|, la varianza marginal de esta distribucio´n
es:
σ2(Γ) = |Γ|2
(8)
2
y la matriz covarianza de Γ es:
|Γ|2 v(Γ) =
2
10 01
(9)
2.2.2. Distribuci´on Disco Uniforme
En este caso se conoce el ma´ximo valor que puede tomar el mo´dulo del coeficiente de reflexio´n, pero se desconoce su fase, por lo que el valor del vector Γ tiene igual probabilidad de situarse en cualquier punto dentro de un c´ırculo de radio |Γ| centrado en el origen. La forma de distribucio´n
1Se puede dar el caso de conocer tanto el mo´dulo como la fase de Γ. Este caso se trata en la segunda parte del presente trabajo
3
Figura 1: Distribuci´on de Probabilidad de Re{Γ} cuando Γ var´ıa segu´n un Anillo [4]
en este caso es la de un disco (uniform disk ). La varianza de la distribuci´on marginal de esta
distribuci´on es:
σ2(Γ) = |Γ|2
(10)
4
y la matriz covarianza de Γ es:
|Γ|2 1 0
v(Γ) =
(11)
4 01
2.3. Distribucio´n de probabilidad del producto de vectores
Se demuestra en [4] que si dos vectores V1 y V2 tienen una distribuci´on de probabilidad coinci-
dentes con las presentadas en la seccio´n 2.2, la varianza de la parte real, o marginal, del producto de
estos vectores bidimensionales es igual a 2 veces el producto de las varianzas de las distribuciones
marginales individuales:
σ2[Re(V1V2)] = 2 σ2(V1) σ2(V2)
(12)
Para nuestro caso, donde los vectores en (7) son los coeficientes de reflexio´n se tiene:
σ2[Re(ΓGΓL)] = 2 σ2(ΓG) σ2(ΓL)
(13)
2.3.1. Varianza de la incertidumbre por Mismatch
Segu´n (7) tenemos que la varianza de la incertidumbre por Mismatch es:
σ2(M ) = 4 σ2[Re(ΓGΓL)]
(14)
4
y teniendo en cuenta la ecuacio´n (13), queda:
σ2(M ) = 8 σ2(ΓG) σ2(ΓL)
(15)
3. Distribuciones de probabilidad del Mismatch
Segu´n la informacio´n disponible sobre |ΓG| y |ΓL| se tienen distintas expresiones para las respectivas varianzas y por ende se tienen distintas distribuciones de probabilidad de la incertidumbre por Mismatch. A continuacio´n se enumeran distintas posibilidades que se presentan en la pr´actica2:
1. Se conocen los valores del mo´dulo de ambos coeficientes de reflexi´on
2. Se conoce el valor de un coeficiente de reflexi´on y el m´aximo especificado del segundo
3. Se conocen los m´aximos especificados del m´odulo de ambos coeficientes de reflexio´n
3.1. Distribucio´n Anillo/Anillo
Si se conocen los m´odulos de los dos coeficientes de reflexi´on, ΓG y ΓL, se obtiene una distribucio´n de probabilidad Tipo U. Entonces segu´n (8) y (15) queda:
σ2(M )
=
8 |ΓG|2 2
|ΓL|2 2
=
2|ΓG|2|ΓL|2
(varianza)
(16)
√
σ(M ) = 2|ΓG||ΓL|
(desv´ıo standard 1-sigma)
(17)
La distribuci´on resultante del producto de ambos coeficientes es de la siguiente forma:
Figura 2: Distribuci´on de probabilidad normalizada si se conocen los m´odulos de ambos Γ
2Se asume que no se tiene informacio´n respecto a φ(Γ) de ninguno de los dos vectores
5
3.2. Distribucio´n Anillo/Disco
Si se conoce el valor m´aximo especificado del mo´dulo de ΓG y el valor del m´odulo de ΓL o viceversa, entonces segu´n (8), (10) y (15) queda (suponiendo m´aximo |ΓG| especificado):
σ2(M )
=
8 |ΓG|2 4
|ΓL|2 2
=
|ΓG|2|ΓL|2
(varianza)
(18)
σ(M ) = |ΓG||ΓL|
(desv´ıo standard 1-sigma)
(19)
La distribuci´on tiene la forma indicada por la Fig. 3.
Figura 3: Distribuci´on de Probabilidad normalizada si se conoce el m´odulo de un solo Γ
3.3. Distribucio´n Disco/Disco
Si solo se conocen los valores ma´ximos especificados de los mo´dulos de ambos coeficientes de reflexio´n ΓG y ΓL, entonces segu´n (10) y (15) queda:
σ2(M )
=
8 |ΓG|2 4
|ΓL|2 4
=
1 2
|ΓG|2
|ΓL|2
(varianza)
(20)
1
σ(M )
=
√ 2
|ΓG||ΓL|
(desv´ıo standard 1-sigma)
(21)
La distribucio´n tiene la forma indicada por la Fig. 4.
4. Distribuciones de probabilidad del Mismatch en Transmisio´n
Cuando se mide la atenuacio´n de un dispositivo de 2 puertos como se ve en la Fig. 7 aparecen desadaptaciones tanto en la entrada como en la salida del DUT. Aplicando la Regla de Mason al diagrama de flujo del esquema en cuesti´on, se llega a la siguiente expresio´n [3] que expresa el valor absoluto del error por Mismatch debido a estas desadaptaciones cuando se mide |S21| :
M [dB] = 10 × log (1 − ΓGS11)(1 − ΓLS22) − ΓGΓLS12S21 2
(22)
1 − ΓGΓL
6
Figura 4: Distribuci´on de probabilidad si se conocen los m´aximos valores de los m´odulos de ambos Γ .
Asumiendo que el DUT es un dispositivo rec´ıproco (S21 = S12) y considerando que S11 y S22 son valores pequen˜os, operando se llega a que:
M [dB] = 10 × log 1 −ΓGS11 − ΓLS22 − S221ΓGΓL + ΓGΓL 2
(23)
x
Si x ≈ 0 se cumple que |1 + x|2 ≈ 1 + 2 Re{x}:
M [dB] ≈ 10 × log(1 + 2 Re{−ΓGS11 − ΓLS22 − S221ΓGΓL + ΓGΓL})
(24)
M [dB] ≈ 4,34 × ln(1 + 2 Re{−ΓGS11 − ΓLS22 − S221ΓGΓL + ΓGΓL})
(25)
Teniendo en cuenta que si x ≈ 0, ln(1 + 2x) ≈ 2x, queda:
M [dB] ≈ 4,34 (−2 Re{ΓGS11} − 2 Re{ΓLS22} − 2 Re{S221ΓGΓL} + 2 Re{ΓGΓL})
(26)
Se observa que cada t´ermimo del segundo miembro tiene la forma de (7) y su varianza individual se calcula segu´n (15). De la medici´on de atenuacio´n se conoce el valor de |S21|, por lo que puede asumirse que el t´ermino que incluye el lazo a trav´es del DUT tiene la forma dada en (15) donde |S21| aparece como constante.
Finalmente:
σM2 (dB) ≈ (4,34)2 [8 σ2(ΓG)σ2(S11) + 8 σ2(ΓL)σ2(S22) + 8 |S21|2σ2(ΓG)σ2(ΓL) + 8 σ2(ΓG)σ2(ΓL)] (27)
7
5. Resumen
A continuaci´on se resumen los par´ametros caracter´ısticos de los distintos casos presentados:
Informacio´n
|ΓG| y |ΓL| |ΓG| y |ΓL|max |ΓG|max y |ΓL|max
√ u(Mu) 2 × |ΓG| × |ΓL|
|ΓG| × |ΓL|
√1 2
×
|ΓG|
×
|ΓL|
Distribuci´on Tipo-U -
Tipo Anillo/Anillo Disco/Anillo Disco/Disco
Cuadro 1: Casos posibles - Incertidumbre standard por Mismatch
6. Ejemplos
1. Medici´on del Nivel de Salida de un Generador de RF
2. Medicio´n de Planicidad de un Analizador de Espectro
3. Medicio´n de los par´ametros S de un dispositivo de 2 puertos
6.1. Ejemplo 1. Generador de RF
En el caso de medir la potencia absoluta de salida de un Generador de RF como muestra la Fig. 5, se da la situaci´on de tener enfrentados a ΓG del Generador con ΓL del Sensor de Potencia. En general la informacio´n que se conoce de ΓG son las especificaciones de |ΓG|max o ROEmax que brinda el fabricante mientras que el ΓL puede ser medido por medio de un VNA3 para conocer tanto el mo´dulo como la fase del Γ del sensor. De esta forma se tiene el caso presentado en la secci´on 3.2. Como ejemplo, supongamos tener los siguientes equipos en nuestro esquema de medici´on para medir la salida de un generador en 18 GHz :
Generador de RF Marca: Rohde & Schwarz Modelo: SMR40 Especificaci´on: ROE < 2
Sensor de Potencia Marca: Agilent Modelo: E4412 Especificaci´on: ROE < 1,27 (10 GHz a 18 GHz) Datos de Certificado de Calibracio´n: |ΓL| = 0,016 ; φ(ΓL) = 46◦
3VNA: Vector Network Analyzer
8
Figura 5: Medici´on del nivel de salida de un generador de RF
Segu´n lo analizado anteriormente la incertidumbre por Mismatch (1-sigma) se calcula segu´n el caso Anillo/Disco como se explica en la seccio´n 3.2:
ROEG = 2 ⇒ |ΓG|max = 0,33
(28)
|ΓL| = 0,016
(29)
u(M ) = 0,33 × 0,016 = 0,005
(30)
Si en vez de utilizar los datos del certificado de calibraci´on del sensor, se utiliza el dato informado por el fabricante, entonces la incertidumbre por Mismatch se comporta de acuerdo al caso Disco/Disco visto en la seccio´n 3.3, entonces:
ROEG = 2 ⇒ |ΓG|max = 0,33
(31)
ROEL = 1,27 ⇒ |ΓL|max = 0,12
(32)
1
u(M ) = √ × 0,33 × 0,12 = 0,028
(33)
2
Como se puede apreciar, en este caso el t´ermino por incertidumbre es aproximadamente 5 veces mayor si se usan las especificaciones aseguradas por el fabricante que si se extrae el valor del sensor de un certificado de calibracio´n.
6.2. Ejemplo 2. Analizador de Espectro
En el caso de medir la exactitud de escala de un Analizador de Espectro (fidelidad), la sen˜al que se inyecta al Analizador se nivela como se ve en la Fig. 6 . Por lo tanto el ΓG que ve el Analizador de Espectro es el correspondiente al coeficiente de reflexio´n equivalente Γeq del divisor de potencia [5]. La forma de calcular el mismo es a trav´es de la medicio´n de los par´ametros S del divisor de potencia y luego por medio de la ecuacio´n (34), se obtiene el m´odulo y fase de Γeq. En este caso se considera que la salida hacia el DUT se conecta en el puerto 3 del divisor de potencia:
Γeq
=
S33
− (S13S32) S12
(34)
9
Figura 6: Esquema de medici´on de la Fidelidad de Escala de un analizador de espectro
Se conoce |ΓL|max o ROEmax de la especificaci´on del fabricante correspondiente al Analizador de Espectro, que indica un peor caso para el mo´dulo de ΓL pero no brinda informaci´on sobre su fase. En este caso tambi´en se tiene la combinaci´on Anillo/Disco. Como ejemplo, supongamos tener los siguientes equipos en nuestro esquema de medicio´n para medir el nivel de salida de un generador en 30 GHz:
Divisor de Potencia Marca: Agilent Modelo: 11636C Datos de Certificado de Calibraci´on @30 GHz: |Γeqpuerto3 | = 0,105 ; φ(Γeqpuerto3 ) = 94,8◦
Analizador de Espectro Marca: Agilent Modelo: E4448A PSA Especificacio´n: ROE < 1,57 (26,5 GHz a 50 GHz)
En este caso la incertidumbre por Mismatch (1-sigma) se calcula como sigue:
|ΓG| = 0,105
(35)
ROEL = 1,57 ⇒ |ΓL|max = 0,22
(36)
u(M ) = 0,105 × 0,22 = 0,023
(37)
10
6.3. Ejemplo 3. Atenuacio´n
Se realiza la medici´on de atenuaci´on de un dispositivo pasivo en 15 GHz, con un esquema de medicio´n como se ve en la Fig. 7. Los equipos utilizados se indican a continuacio´n:
Figura 7: Esquema de medici´on de Atenuaci´on
Generador de RF Marca: Rohde & Schwarz Modelo: SMR40 Especificacio´n: ROE < 2
Sensor de Potencia Marca: Agilent Modelo: E4412A Especificacio´n: ROE < 1,27 (10 GHz a 18 GHz) Datos de Certificado de Calibraci´on @15 GHz: |ΓL| = 0,020 ; φ(ΓL) = −65◦
Atenuador Agilent 8491B - 30 dB
|S11|15 GHz ≤ 0,20 (valor m´aximo especificado) |S12|15 GHz = 0,0311 (valor medido) |S21|15 GHz = 0,0311 (valor medido) |S22|15 GHz ≤ 0,20 (valor ma´ximo especificado)
Utilizando la ecuaci´on (27):
σM2 (dB) ≈ (4,343)2 [8σ2(ΓG)σ2(S11) + 8σ2(ΓL)σ2(S22) + 8|S21|2σ2(ΓG)σ2(ΓL) + 8σ2(ΓG)σ2(ΓL)] (38)
se ve que el primer t´ermino del segundo miembro coincide con el caso Disco/Disco:
8
σ2(ΓG)σ2(S11)
=
1 2
×
0,332
×
0,202
=
2,18
×
10−3
(39)
11
En el caso del pr´oximo t´ermino se tiene el caso Disco/Anillo:
8 σ2(ΓL)σ2(S22) = 0,0202 × 0,202 = 16,0 × 10−6
(40)
En el caso del t´ermino que incluye el lazo a trav´es del DUT, se conoce el mo´dulo y la fase de ΓL, pero se desconoce φ(ΓG). Se puede considerar que este caso es el Disco/Anillo:
8 |S21|2σ2(ΓG)σ2(ΓL) = |S21|2 × |ΓG|2 × |ΓL|2 = 0,03112 × 0,332 × 0,0202 ≈ 0
(41)
Por u´ltimo se tiene:
8 σ2(ΓG)σ2(ΓL) = |ΓG|2|ΓL|2 = 0,332 × 0,0202 = 43,610−6
(42)
Sumando todas las contribuciones, queda:
σ2(M ) = (4,343)2 × (2, 18 × 10−3 + 16, 0 × 10−6 + 43, 6 × 10−6) = 42,2 × 10−3
(43)
σ(M ) = 0,205 (1-sigma) [dB]
(44)
12
Referencias
[1] Agilent (AN 1449-3): Fundamentals of RF and Microwave Power Measurements (Part 3), Apr 2011.
[2] Harris, I.A.; Warner, F.L., “Re-examination of mismatch uncertainty when measuring microwave power and attenuation”, Microwaves, Optics and Antennas, IEE Proceedings H , vol.128, no.1, pp.35-41, Feb 1981.
[3] Warner, F.L., “Microwave attenuation measuremnt”, (Peter Peregrinus, 1977) , chaps 2, 8 & 14.
[4] Blair Hall: The uncertainty of a complex quantity with unknown phase, 33th ANAMET Meeting, May 2010.
[5] Engen, G.F., “Amplitude Stabilization of a Microwave Signal Source”, Microwave Theory and Techniques, IRE Transactions on , vol.6, no.2, pp.202-206, Apr 1958.
[6] Guldbrandsen, T., “Uncertainty contributions from mismatch in microwave measurements”, Microwaves, Antennas and Propagation, IEE Proceedings - , vol.148, no.6, pp.393-397, Dec 2001.
[7] Blair Hall: Notes on complex measurement uncertainty - part 1, 53th ANAMET Report, Dec 2010.
13
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