Cálculo de incertidumbres y correlaciones por simulación numérica en procesos de STEP-UP
Di Lillo, L. (1); Kornblit, F.(1) (1)INTI-Física y Metrología
Introducción Los patrones de transferencia AC-DC de los Institutos Nacionales de Metrología denominados termoconversores (TC) son usualmente calibrados por medio de un proceso conocido como step-up. En este proceso, para cada nivel de tensión o corriente, se comparan de a dos las diferencias de transferencia AC-DC entre n patrones, y se toma como referencia la diferencia conocida de transferencia AC-DC de m de ellos (m < n). Con estos valores, y mediante el método de cuadrados mínimos [1], se asignan los valores de transferencia AC-DC para los restantes (n-m) patrones que intervienen en el proceso de calibración.
Para poder asignar valores de diferencias AC-DC a los TC involucrados, es necesario conocer la diferencia AC-DC de uno de ellos. Este valor se obtiene de una calibración previa realizada en PTB. Una vez asignados valores de diferencia AC-DC a 1,5 V para cada uno de los TC, y, suponiendo que la misma no depende del nivel de tension al cual se los utilice (dentro del rango de funcionamiento), se realiza la calibración de otros TC a distintos niveles de tension o corriente.
Posteriormente, otro de los patrones calibrados en el paso anterior es utilizado como referencia para otro proceso, a un nuevo nivel de tensión o corriente. (ver Figura1)
En cada una de las etapas aparecen componentes de incertidumbre asociados. Debido a la dificultad para representar todas las etapas en un único modelo explícito, la combinación de todas esas componentes, y la estimación de sus correlaciones se vuelve dificultosa si se desea aplicar un cálculo analítico siguiendo la metodología habitual.
En cambio, en este trabajo, se propone la utilización de métodos de simulación numérica [2,3]. Conociendo las distribuciones de probabilidad de las componentes de incertidumbre en cada etapa, se simulan valores aleatorios de acuerdo a estas distribuciones, y se obtienen resultados de mediciones virtuales. Repitiendo este proceso numerosas veces, es posible estimar numéricamente las características estadísticas de los resultados de medición. En particular, la incertidumbre de calibración de cada elemento, y las correlaciones entre ellos y con el o los patrones
de referencia, cuyo conocimiento es necesario para la evaluación de resultados de intercomparaciones.
PTB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.5 V 2V 3V
10
12
13
14
15
16
11
6V
comparaciones referencias del escalón siguiente patrones escalón de tensión
Figura 1.Proceso de Step-Up
Metodología: Enfoque analítico
El modelo usado para el cálculo de los valores de
los termoconversores en cada escalón es
b = A⋅δ + uM + uA
(1)
donde
• b es un vector conteniendo los resultados de
cada comparación de a pares y los valores
conocidos de los patrones,
• A (matriz del diseño) contiene 1 y –1 para
señalar qué termoconversores intervienen en
cada comparación,
• δ es el valor que será asignado a cada TC
• uM y uA son vectores de errores debido a la
falta de ajuste lineal y falta de repetibilidad del modelo, estimables por medios estadísticos. Por ejemplo, para el segundo escalón de la figura 1, el modelo deviene en:
INSTITUTO NACIONAL DE TECNOLOGÍA INDUSTRIAL
1
b2−1 b2−2
=
−1 −1
b2−3 δ
4
0 0
1 0 −1 1
0
1 1 0
δ δ δ
5 6 7
+
uA
+
uM
(2)
δ6 resulta igual a δ4 (escalón anterior). A su vez, los valores obtenidos para δ5 y δ7 serán utilizados
como referencias en el vector b del escalón siguiente. El vector δ es estimado por la fórmula
habitual de cuadrados mínimos:
δ = C⋅b
(3)
( ) C = At A −1 At
(4)
Para el cálculo de la incertidumbre asociada a esta estimación, se tienen en cuenta los siguientes
componentes, a saber: • la incertidumbre asignada al patrón de
referencia externo en el primer escalón, • en los siguientes escalones, la incertidumbre
asignada a los TC utilizados como referencia, obtenida en los escalones anteriores • la falta de ajuste del modelo, estimada estadísticamente como la desviación standard residual uM • la repetibilidad de cada comparación, estimada estadísticamente a partir de las desviaciones standard entre las repeticiones de cada comparación uA
La combinación de estos componentes de incertidumbre puede verse en la referencia [1]
Metodología: Enfoque numérico (Monte Carlo) Se realizaron simulaciones de los valor obtenidos de las comparaciones, como variables normales con medias y varianzas obtenidas de los datos
experimentales.Para el cálculo de simulación numérica se procedió de la siguiente manera:
1. A partir de resultados experimentales, se postularon valores para los siguiente parámetros:
• El valor estimado del patrón de referencia y su incertidumbre standard
• El valor medio de cada comparación y su incertidumbre standard (estimador de la la incertidumbre asociada con la repetibilidad de la comparación)
• Desviación standard residual del ajuste en cada escalón
2. Con estos parámetros se generaron números pseudoaleatorios gaussianos, que simulan el comportamiento de cada una de las variables de interés al realizar el proceso de medición.
3. Se realizó el proceso de step-up con estos valores simulados, obteniendo resultados que simulan a los valores de diferencia ACDC de cada TC.
4. Los pasos 2 y 3 fueron repetidos 20000 veces. Los valores de diferencia AC-DC de cada TC fueron estimados a partir del promedio de los
resultados obtenidos, y sus incertidumbre standard como la desviación standard de los resultados obtenidos.
Resultados En la tabla 1 se muestran estos resultados, junto con los obtenidos analíticamente para 1 kHz. Los valores son informados con 3 decimales a fin de observar la gran semejanza con entre ambos métodos, sobre todo en los primeros escalones.
Escalón 1 2 3 4
Diferencia ACDC
Incertidumbre standard
Cálculo
Cálculo
Nº de TC analítico Simulación analítico Simulación
1-PATRON 2,000
2,002
0,5
0,503
2
1,166
1,167
0,612
0,61
3
1,88
1,88
0,577
0,579
4
1,704
1,705
0,602
0,6
5
1,88
1,88
0,577
0,579
6
0,044
0,043
0,791
0,793
7
2,142
2,139
0,767
0,767
8
0,227
0,227
0,609
0,668
9
1,521
1,52
0,566
0,628
10
1,151
1,155
0,626
0,684
11
0,635
0,632
0,664
0,714
12
1,929
1,932
0,684
0,735
13
1,641
0,861
0,642
0,452
14
0,923
0,406
0,638
0,321
15
3,711
3,066
0,753
0,555
16
1,287
0,64
0,683
0,456
Además, se estimaron los coeficientes de correlación entre cada elemento y el patrón de referencia. En el siguiente gráfico se observa el coeficiente de correlación entre cada TC y el patron externo para cada escalón. Estos valores se obtuvieron por simulación habiendo variado la incertidumbre del patrón externo entre 0 y 2 ppm.
Ro
Correlación de cada tranfer con el patrón externo 1, 0
0,8
0,6
0,4
1er . escalón
0,2
2do. escalón
3er . escalón
0,0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1, 2
1, 4
1, 6 4t o.1,e8scuap lón2
Conclusiones El método de Monte-Carlo es aplicable a situaciones como las presentadas en este trabajo, obteniendose resultados equivalentes a los del calculo de incertidumbre tradicional. Adicionalmente facilita la estimación de las correlaciones entre los elementos entre si y con los patrones externos. Este procedimiento puede ser generalizado a otros procesos de comparación que presenten configuraciones similares.
Referencias
[1] H. Laiz, M.Klonz et al., “New AC-DC Transfer Step-up calibration and uncertainty calculation in PTB and INTI”, Digest Conf. Prec. Electromagnetic Meas., CPEM 2000, 12-19 May, 2000, Sydney, Australia, pp 490-491 [2] Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, Supplement 1: Numerical Methods for the Propagation of Distributions. 2004, JCGM (Joint Committee for Guides in Metrology),
INSTITUTO NACIONAL DE TECNOLOGÍA INDUSTRIAL
2
[3] F.Kornblit. From the propagation of uncertainties towards the propagation of distributions: Comments On Gum Supplement 1, publicado en INFOSIM, Agosto 2004, Buenos Aires, pp.22-29
Para mayor información contactarse con: Lucas Di Lillo – ldilli@inti.gov.ar, Fernando Kornblit ferk@inti.gov.ar
INSTITUTO NACIONAL DE TECNOLOGÍA INDUSTRIAL
3
Ver+/-
